2023新課標卷物理第26題與疊加原理

當以讀書通世事 2023-09-13

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上一篇文章2023新課標卷物理第26題：動量定理結(jié)合微元法求解電磁感應(yīng)大題分析了2023新課標卷物理第26題的第（1）問，下面繼續(xù)分析第（2）問。第（2）問電路的結(jié)構(gòu)明顯的變復(fù)雜了，因此需要先了解一下分析復(fù)雜電路的第一種工具：疊加原理。

一、疊加原理

1.內(nèi)容：在具有幾個電動勢的電路中，幾個電動勢共同在某一支路中引起的電流，等于每個電動勢單獨存在時在該支路上所產(chǎn)生的電流之和。

說明：

（1）電動勢的疊加與電場的疊加類似，可以類比著理解。

（2）應(yīng)用疊加原理可以把一個復(fù)雜的電路拆成幾個比較簡單的電路。

但是在應(yīng)用的時候，要注意思考：疊加原理中的“電動勢”能不能改成“電源”？

下面就來分析幾個具體的例子，在分析的過程中來回答這個問題。

二、兩個電動勢串聯(lián)，且電動勢方向相反

例1.（2023新課標卷第26題）試證明金屬框完全在磁場中時感應(yīng)電流為0.

這個結(jié)論很容易理解，金屬框完全在磁場中，穿過金屬框的磁通量沒有變化，因此沒有感應(yīng)電流。下面我們利用疊加原理分析一下。

首先需要說明的是，電動勢是標量，但是有方向，其方向規(guī)定為電源內(nèi)部電流的方向，即從電源負極經(jīng)電源內(nèi)部指向電源的正極。

其次兩個電流、或者兩個電動勢、的方向是否相同，一定要看相對整個回路的方向（順時針還是逆時針），而不是相對部分電路的方向（向上還是向下）。

最后，使用疊加原理把這個復(fù)雜電路拆成兩個簡單電路，有兩種拆法，

哪種拆法正確呢？

憑感覺應(yīng)該是下面的拆法正確。圖甲之所以復(fù)雜，并不是因為電阻多，而是電源多，準確來說是電動勢多，所以每個簡單電路中應(yīng)該只有一個電動勢，也就是說只有一個電源，其它電源的電動勢去掉，但是其內(nèi)阻仍保留。這種做法與其它方法（比如后面要講的基爾霍夫定律）結(jié)果一致。如果把其它電源的電動勢內(nèi)阻都去掉，結(jié)果就和其它方法算的不一致了。因此疊加原理中的“電動勢”不能改成“電源”。

按照下圖來計算。圖乙，感應(yīng)電流或感應(yīng)電動勢方向逆時針。

圖丙，感應(yīng)電流或感應(yīng)電動勢方向順時針。

平時我們畫圖的時候，都會畫出感應(yīng)電流，這其實就是利用了疊加原理。

圖甲，總的感應(yīng)電流

最后一個式子同時也提醒我們可以先算總的感應(yīng)電動勢，然后再求總電流。

再了解一下反電動勢的概念。如果兩個電動勢方向相反，選擇其中一個（一般是大的）的方向作為正方向，另一個方向是相反的，稱為反電動勢。例如圖甲中，可以選擇電動勢的方向即逆時針作為正方向，那么的方向就是負的，就是反電動勢。

反電動勢的概念以前的課本中有，新課本刪掉了，但是不管有沒有，高考一直都在考，只是不提這個概念罷了。

例2. 試說明含有電動機的電路（電動機正常工作）閉合電路的歐姆定律為什么不成立？

電動機正常工作時，線圈旋轉(zhuǎn)切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，我們在正弦交變電流的章節(jié)學習過，很容易判斷出這個電動勢的方向與電源電動勢的方向相反，就是反電動勢。因此電路中的電流為

現(xiàn)在，電動機正常工作時，閉合電路的歐姆定律不成立的原因找到了，就是因為存在反電動勢，得把這個反電動勢減掉才行。其它的非純電阻電路，閉合電路的歐姆定律不成立，也是因為電路中存在反電動勢或類似反電動勢的東西。

對于正常工作的電動機，部分電路的歐姆定律也不成立，為什么？這個在后面了解了一段含源電路的歐姆定律之后就明白了。

例3：（2023湖南卷第14題）如圖，兩根足夠長的光滑金屬直導(dǎo)軌平行放置，導(dǎo)軌間距為，兩導(dǎo)軌及其所構(gòu)成的平面均與水平面成角，整個裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面斜向上的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大小為．現(xiàn)將質(zhì)量均為的金屬棒垂直導(dǎo)軌放置，每根金屬棒接入導(dǎo)軌之間的電阻均為。運動過程中金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好，金屬棒始終未滑出導(dǎo)軌，導(dǎo)軌電阻忽略不計，重力加速度為。

（1）先保持棒靜止，將棒由靜止釋放，求棒勻速運動時的速度大小；

（2）在（1）問中，當棒勻速運動時，再將棒由靜止釋放，求釋放瞬間棒的加速度大小；

（3）在（2）問中，從棒釋放瞬間開始計時，經(jīng)過時間，兩棒恰好達到相同的速度，求速度的大小，以及時間內(nèi)棒相對于棒運動的距離。

解：（1）

安培力

由牛頓第二定律得：

棒從靜止開始加速下滑，安培力增大，加速度減小，當加速度減到0時，棒速度達到最大，然后勻速下滑。

解得：

（2）

對棒：

解得：

（3）

設(shè)任一時刻棒、的速度分別為、，，電路中總的感應(yīng)電動勢

總的感應(yīng)電流

方向順時針。

需要說明的是，是電路中實際存在的電流，類似于合運動；、其實是采用了疊加原理，假設(shè)只有一個電動勢存在時產(chǎn)生的感應(yīng)電流，實際上不存在，類似于分運動。

安培力

對棒，由動量定理得

提取常數(shù)到外面

注意

相對的位移

代入得：

對棒，

化簡得：

解（1）（2）得：

相對位移

例4. （2023新課標卷第26題）試計算最上面的電阻在時間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱。

圖乙

圖丙

圖甲

這說明疊加原理只能用來計算電路中的電流和電壓，不能用來計算電功、電熱等。

三、兩個電源串聯(lián)，且電動勢方向相同。

例5. 兩個電源與電阻串聯(lián)組成閉合回路，兩個電源的電動勢分別為，內(nèi)阻分別為，求流過電阻的電流。

使用疊加原理計算

圖乙，電流方向順時針

圖丙，電流方向順時針

圖甲，

或者

這個結(jié)果可以推廣到個電源的情況，尤其是下面的情況

結(jié)論1. 個完全相同的電源（電動勢內(nèi)阻）串聯(lián)，且電動勢方向相同，那么它等效于一個新電源，這個新電源的電動勢，內(nèi)阻。

四、兩個電源并聯(lián)的情況，且電動勢方向相同。

例6. 兩個完全相同的電源并聯(lián)，且與電阻組成閉合回路，已知電源電動勢，內(nèi)阻，求流過電阻的電流。

同樣使用疊加原理計算

圖乙，

流過的電流順時針

圖丙，

流過的電流順時針

圖甲，流過的電流

這個結(jié)果也可以推廣，

結(jié)論2. 個完全相同的電源（電動勢內(nèi)阻）并聯(lián)，且電動勢方向相同，那么它等效于一個新電源，這個新電源的電動勢，內(nèi)阻。

前面的內(nèi)容只能算是開口湯，下面正餐開始！

五.完成2023新課標卷第26題第（2）問

一邊長為、質(zhì)量為的正方形金屬細框，每邊電阻為，置于光滑的絕緣水平桌面（紙面）上。寬度為的區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為，兩虛線為磁場邊界，如圖所示。

（1）使金屬框以一定的初速度向右運動，進入磁場。運動過程中金屬框的左、右邊框始終與磁場邊界平行，金屬框完全穿過磁場區(qū)域后，速度大小降為它初速度的一半，求金屬框的初速度大小。

（2）在桌面上固定兩條光滑長直金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌與磁場邊界垂直，左端連接電阻，導(dǎo)軌電阻可忽略，金屬框置于導(dǎo)軌上，如圖所示。讓金屬框以與（1）中相同的初速度向右運動，進入磁場。運動過程中金屬框的上、下邊框處處與導(dǎo)軌始終接觸良好。求在金屬框整個運動過程中，電阻產(chǎn)生的熱量。

解：（2）金屬框進入磁場的過程