正態(tài)性是許多統(tǒng)計(jì)方法和機(jī)器學(xué)習(xí)模型的關(guān)鍵假設(shè)。當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)分布的時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)不準(zhǔn)確（如線性回歸，都假設(shè)數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。如果這一假設(shè)被違反，那么參數(shù)估計(jì)可能會(huì)有偏），預(yù)測(cè)誤差增加，甚至導(dǎo)致某些統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)論失效。為了解決這個(gè)問(wèn)題，研究人員和統(tǒng)計(jì)學(xué)家們引入了多種數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換技術(shù)，其中最著名的之一就是 Box-Cox 轉(zhuǎn)換。

為什么引入Box-Cox 轉(zhuǎn)換?

數(shù)據(jù)的正態(tài)性對(duì)于許多統(tǒng)計(jì)方法至關(guān)重要。例如，在假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析、ANOVA 和很多其他方法中，數(shù)據(jù)的正態(tài)分布是關(guān)鍵假設(shè)之一。數(shù)據(jù)的非正態(tài)性可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)的偏誤、增加類型I和類型II錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，以及降低模型的預(yù)測(cè)精度。因此，為了滿足正態(tài)性假設(shè)，研究者們經(jīng)常需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行某種形式的轉(zhuǎn)換。

Box-Cox 轉(zhuǎn)換是這樣的一種方法，它的目的是使偏斜的數(shù)據(jù)更接近正態(tài)分布。這種轉(zhuǎn)換方法是 George Box 和 David Cox 于 1964 年首次提出的，現(xiàn)已成為統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中的標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)。

數(shù)學(xué)模型是什么?

Box-Cox 轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型定義如下：

其中， 是要被轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)，而 是轉(zhuǎn)換參數(shù)。選擇最佳的 值通常是通過(guò)最大化數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)似然來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

為什么Box-Cox 能夠使數(shù)據(jù)正態(tài)?

Box-Cox 轉(zhuǎn)換的工作原理有幾個(gè)方面：

1. 對(duì)偏度的矯正：通過(guò)調(diào)整數(shù)據(jù)的冪，Box-Cox 轉(zhuǎn)換可以有效地橋正數(shù)據(jù)的偏斜性。對(duì)于正偏 斜的數(shù)據(jù)，選擇 值小于 1 可以使數(shù)據(jù)向左移動(dòng)，從而減少偏斜性。對(duì)于負(fù)偏斜的數(shù)據(jù)，選 擇 值大于 1 可以進(jìn)行橋正。
2. 方差穩(wěn)定化：Box-Cox 轉(zhuǎn)換也可以矯正數(shù)據(jù)的異方差性，使其變得更加穩(wěn)定。
3. 數(shù)學(xué)理論: Box-Cox 轉(zhuǎn)換的形式基于數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)理論，指出當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)? 值時(shí)，可以使數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)似然最大化，從而使數(shù)據(jù)更接近正態(tài)分布。

Box-Cox 轉(zhuǎn)換的實(shí)際應(yīng)用

考慮一個(gè)例子，其中我們有一個(gè)數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集記錄了不同城市的人口和相關(guān)的犯罪率。犯罪率的數(shù)據(jù)可能會(huì)受到極端值的影響，并且可能不是正態(tài)分布的。在這種情況下，我們可以使用 Box-Cox 轉(zhuǎn)換來(lái)矯正犯罪率的分布。

來(lái)看這份虛擬的數(shù)據(jù)。假設(shè)我們有一個(gè)包含20個(gè)城市的數(shù)據(jù)集。每個(gè)城市都有其人口數(shù)量和年犯罪率（表示為每10,000人中發(fā)生的犯罪事件數(shù)）。

先直觀的看一下數(shù)據(jù)的頻率分布：

從上圖中，我們可以清晰地觀察到犯罪率數(shù)據(jù)的分布。這些數(shù)據(jù)似乎并不完全遵循正態(tài)分布。

我們可以使用統(tǒng)計(jì)方法（如 Shapiro-Wilk 測(cè)試）來(lái)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的正態(tài)性。

# Shapiro-Wilk 測(cè)試
shapiro_test = shapiro(crime_rates)
shapiro_test

測(cè)試統(tǒng)計(jì)量 (W值) = 0.8087,p值 = 0.0012,由于p值（0.0012）小于0.05，我們拒絕原假設(shè)，即數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。因此，我們可以確定這些犯罪率數(shù)據(jù)并不是正態(tài)分布的。

此時(shí)我們可以應(yīng)用 Box-Cox 轉(zhuǎn)換并選擇最佳的 λ 值來(lái)最大化對(duì)數(shù)似然。

通過(guò)Box-Cox轉(zhuǎn)換，我們得到了最佳的 λ 值為 0.1701。這意味著當(dāng) λ 取此值時(shí)，轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)最大化了對(duì)數(shù)似然，從而更接近正態(tài)分布。

下面，我們將重新繪制轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和概率密度曲線，并再次進(jìn)行Shapiro-Wilk 測(cè)試，以確認(rèn)數(shù)據(jù)的正態(tài)性。

# 繪制轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)的直方圖和概率密度曲線
sns.histplot(transformed_data, kde=True, bins=8)
plt.title('Transformed Crime Rates Distribution')
plt.xlabel('Transformed Crime Rates')
plt.ylabel('Frequency')
plt.show()

# 再次進(jìn)行Shapiro-Wilk 測(cè)試
shapiro_transformed = shapiro(transformed_data)
shapiro_transformed

從上圖可以看出，經(jīng)過(guò)Box-Cox轉(zhuǎn)換后的犯罪率數(shù)據(jù)更接近正態(tài)分布。此外，新的Shapiro-Wilk測(cè)試結(jié)果顯示統(tǒng)計(jì)量為0.9826，p值為0.9628。由于此p值大于0.05，我們無(wú)法拒絕數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的原假設(shè)。

這意味著經(jīng)過(guò)Box-Cox轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性假設(shè)。因此，我們可以放心地使用需要正態(tài)分布假設(shè)的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行進(jìn)一步分析。

完美！

結(jié)語(yǔ)

Box-Cox 轉(zhuǎn)換是統(tǒng)計(jì)和數(shù)據(jù)分析中的一個(gè)強(qiáng)大工具，它可以幫助我們矯正數(shù)據(jù)的非正態(tài)性。通過(guò)理解其背后的原理和知道如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用它，我們可以更好地利用統(tǒng)計(jì)方法，從而得到更準(zhǔn)確和有洞察力的結(jié)果。