26. 如圖1和圖2，平面上，四邊形ABCD中，AB=8,BC=,CD=12,DA=6,∠A=90°，點M在AD邊上，且DM=2．將線段MA繞點M順時針旋轉n°(0<n≤180)到MA',∠A'MA的平分線MP所在直線交折線AB—BC于點P，設點P在該折線上運動的路徑長為x(x>0)，連接A^' P．

（1）若點P在AB上，求證：A'P=AP；

（2）如圖2．連接BD．①求∠CBD的度數，并直接寫出當n=180時，x的值；②若點P到BD的距離為 ，求tan?∠ A'MP的值；

（3）當0<x≤8時，請直接寫出點A'到直線AB 距離．（用含x的式子表示）．

2023年河北省中考數學壓軸大題第26題

本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，折疊的性質，求正切值，熟練掌握以上知識且分類討論是解題的關鍵．可多次用到一線三垂直構造相似三角形巧妙解題.

【分析】（1）根據旋轉的性質和角平分線的概念得到A'M=AM，∠A'MP=∠AMP，然后證明出△A'MP≌△AMP('SAS' )，即可得到A'P=AP；

（2）①首先根據勾股定理得到BD==10，然后利用勾股定理的逆定理即可求出∠CBD=90°；過點P作PQ⊥AB交AB的延長線于點Q，一線三垂直構造相似三角形，然后證明出△PQB∽△DBA，利用相似三角形的性質求出PB=5，x=AB+PB=5+8=13；

分類討論，當P點在AB上時，PQ=2，∠A'MP=∠AMP，分別求得BP,AP，根據正切的定義即可求解；當P在BC上時，則PB=2，過點P作PQ⊥AB交AB的延長線于點Q，再一次構造一線三垂直構造相似三角形，證明△PQB∽△BAD，得出PQ=4/5 PB=8/5，BQ=3/5 PB=6/5，進而求得AQ，證明△HPQ∽△HMA，即可求解；

（3）如圖所示，過點A'作A'E⊥AB交AB于點E，過點M作MF⊥A'E于點F，則四邊形AMFE是矩形，證明△A'PE∽△MA'F，根據相似三角形的性質即可求解．

小問1詳解

∵ 將線段MA繞點M順時針旋轉n°(0<n≤180)到MA'，

∴A'M=AM

∵∠A'MA的平分線 所在直線交折線AB-BC于點P ，

∴∠A'MP=∠AMP

又∵PM=PM

∴△A'MP≌△AMP('SAS' )

∴A'P=AP；

小問2詳解

①∵AB=8，DA=6，∠A=90°

∴BD==10

∵BC=2，CD=12

∴，

∴∠CBD=90°；

如圖所示，當n=180時，過點P作PQ⊥AB交AB的延長線于點Q，

∵PM平分∠A'MA

∴∠PMA=90°

∴PM∥AB

∴PQAM為矩形

∴ PQ＝MA＝AD-DM＝4

∴△PQB∽△BAD

∴PQ/BA=QB/DA，即4/8=QB/6，

解得QB=3，PB=5

∴x=AB+PB=8+5=13．

②如圖所示，當P點在AB上時，PQ=2，∠A^' MP=∠AMP

∵AB=8,DA=6,∠A=90°，

∴BD==10，sin?∠ DBA=，

∴BP=，

∴AP=AB-BP=8-10/3=14/3

∴tan?∠ A'MP=tan?∠ AMP=；

如圖所示，當 在 上時，則PB=2，過點P作PQ⊥AB交AB的延長線于點Q，延長MP交AB的延長線于點H，

∵∠PQB=∠CBD=∠DAB=90°，

∴∠QPB=90°-∠PBQ=∠DBA，

∴△PQB∽△BAD

∴即PQ/8=QB/6=PB/10

∴PQ=4/5 PB=8/5，BQ=3/5 PB=6/5，

∴AQ=AB+BQ=46/5

∵PQ⊥AB,DA⊥AB

∴PQ∥AD，

∴△HPQ∽△HMA，

∴HQ/HA=PQ/AM

∴HQ/(HQ+46/5)=(8/5)/4

解得：HQ=92/15

∴tan?∠ A^' MP=tan?∠ AMP=tan?∠ QPH=HQ/PQ=(92/15)/(8/5)=23/6，

綜上所述，tan?∠ A'MP的值為7/6或23/6；

小問3詳解

解：∵當0<x≤8時，

∴P在AB上，

如圖所示，過點A'作A'E⊥AB交AB于點E，過點M作MF⊥A'E于點F，則四邊形AMFE是矩形，

∴AE=FM，EF=AM=4，

∵△A'MP≌△AMP，

∴∠PA'M=∠A=90°，

∴∠PA'E+∠FA'M=90°，

又∠A'MF+∠FA'M=90°，

∴∠PA'E=∠A'MF，

又∵∠A'EP=∠MFA'=90°，

∴△A'PE∽△MA'F，

∴

∵A'P=AP=x，MA'=MA=4，設FM=AE=y，A'E=h

即,

∴y=4(x-y)=x(h-4)

∴x(h-4)

整理得h=

即點A'到直線AB的距離為．