那么，什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)呢？

一般在數(shù)學(xué)教學(xué)中，基礎(chǔ)指的是雙基——基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，對(duì)雙基的重視也是我國(guó)教育領(lǐng)域的特色。

當(dāng)然在現(xiàn)在一些專家的表述中，雙基變成了三基——基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想。

現(xiàn)在的新課標(biāo)中，對(duì)此的表述則變成了四基——基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在實(shí)際的教學(xué)教研中，這四者之間并不是平行并列的關(guān)系，而是有機(jī)的結(jié)合。

當(dāng)然，對(duì)于家長(zhǎng)朋友們而言，對(duì)于老師們的教研并不關(guān)心，更關(guān)心的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想指的是什么？又如何培養(yǎng)？

我們就來聊一聊這個(gè)話題。

所謂基礎(chǔ)知識(shí)，很多朋友會(huì)認(rèn)為就是基本的數(shù)學(xué)概念。

當(dāng)然，概念——定義、公理、定理、性質(zhì)、推論、公式是基礎(chǔ)知識(shí)的一部分，也是很重要的一部分，是底層知識(shí)。

我經(jīng)常會(huì)看到諸如初中數(shù)學(xué)100個(gè)知識(shí)點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)全部公式之類的文章，也有很高的點(diǎn)擊量，但是這些資料就是簡(jiǎn)單的羅列、堆砌，就像是橫七豎八擺在那里的磚頭，你說它們是不是知識(shí)，你說這些知識(shí)有沒有用，是不是基礎(chǔ)，就要打個(gè)問號(hào)了。

所有這些概念需要通過我們學(xué)習(xí)、理解，組織成一個(gè)體系，才能稱之為基礎(chǔ)知識(shí)。

什么表現(xiàn)呢？

簡(jiǎn)言之，就是你能夠?qū)⒒A(chǔ)的概念、方法用自己的語言將之按照一定的邏輯順序串聯(lián)并表述起來，能夠構(gòu)建成一個(gè)相對(duì)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，不厭其煩地不斷向內(nèi)填充，追求知識(shí)的廣度、深度、牢固度。

舉個(gè)例子，比如我們說函數(shù)的奇偶性。

那么相關(guān)的奇偶性概念你要知道，概念的內(nèi)涵和外延要清楚。

常見的奇偶性判斷方法要清楚，常見的奇偶函數(shù)要清楚，常見的易錯(cuò)概念要清楚。

這就夠了嗎？

遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，常見函數(shù)的奇偶性、它們組合在一起之后奇偶性的判斷、奇偶性的圖像特征、奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系已經(jīng)常見結(jié)論、奇偶性和其他性質(zhì)的組合關(guān)系。

這夠不夠？

從量上來說夠了，但如果沒有有機(jī)的組合在一起，也不算很優(yōu)秀。

比如從一般和特殊角度來講，先研究對(duì)稱性，再研究奇偶性，奇偶性是對(duì)稱性的一種特殊情況。

從研究方法上來說，數(shù)形結(jié)合是比較重要的認(rèn)識(shí)奇偶性和解決奇偶性問題的方式。

從題型相關(guān)上來講，奇偶性和周期性形式相近、關(guān)系緊密，奇偶性和單調(diào)性經(jīng)常結(jié)合命題。

這下總是夠了吧？

還不夠。

你這些認(rèn)識(shí)是怎么來的呢？

是聽老師講的？看書看的？還是自己真刀真槍通過做題得到的呢？

如果是聽課或者是看書，那么你能否真正把基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用結(jié)合在一起呢？

能否將之輸出，應(yīng)用在解題中呢？

我絕不是反對(duì)聽課和看書，而是紙上得來終覺淺，對(duì)這些概念、公式、定理的認(rèn)識(shí)和掌握，都是通過練習(xí)才能內(nèi)化為自己的真正基礎(chǔ)。

所以基礎(chǔ)知識(shí)并不僅僅包括之前我們所說的內(nèi)容，還有很重要的一部分——基礎(chǔ)題型和基本方法。

對(duì)于基礎(chǔ)題型、基本方法的掌握一定是依賴于一定的練習(xí)，而通過練習(xí)則可以在不同角度、深度去體現(xiàn)基本概念、公式、定理的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)概念的內(nèi)涵、外延，并把握知識(shí)之間的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)。

即使你聽課、看書中，已經(jīng)接受了很多的信息，也需要通過練習(xí)與實(shí)踐相結(jié)合。

所以來個(gè)小結(jié)，基礎(chǔ)知識(shí)包括基本的概念、公式、定理、性質(zhì)以及基本的題型與基本解法，需要在解題，尤其是通過一定量、類似但不重復(fù)的題型練習(xí)來將之結(jié)合在一起，需要追求全面、扎實(shí)。

如果在試卷中體現(xiàn)出來的話，就是簡(jiǎn)單或者中下等難度的基礎(chǔ)題型能夠解決掉。

那么基本技能指的是什么呢？

有時(shí)候，人們會(huì)把對(duì)于基本題型的基本解法劃分進(jìn)基本技能中，我覺得不太合適。

對(duì)于基本技能的要求會(huì)高一些，大概與數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)應(yīng)的。

什么叫基本技能或者說數(shù)學(xué)思想方法呢？

它們可以是一種普適的，能夠在不同題型中都能夠發(fā)揮作用的通性方法，比如數(shù)形結(jié)合，比如換元，比如待定系數(shù)方法等。

比如數(shù)形結(jié)合，在集合中能夠用上，在函數(shù)中能夠用上，在解析幾何中更是常用。

比如換元法，在各個(gè)章節(jié)的不同題型中都會(huì)涉及到。

我們說這一道數(shù)學(xué)題和另一道數(shù)學(xué)題不一樣，不一樣在哪里呢？

不同之處首先是在涉及到的知識(shí)不同，那相同之處自然是在基本的數(shù)學(xué)思想方法也就是基本的技能上。

也可以是對(duì)于問題解決的一些經(jīng)驗(yàn)體會(huì)的總結(jié)整理，比如遇到這道題往往從哪里入手，有那些容易出錯(cuò)之處。

這其實(shí)是一種對(duì)規(guī)律性知識(shí)的抽象、提取，它的產(chǎn)物可以是基本題型的基本解法。

還可以是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)認(rèn)知，比如任何高中數(shù)學(xué)的每一章，其基本結(jié)構(gòu)都是按照定義、表示、性質(zhì)、應(yīng)用來組織的；再比如立體幾何線面位置關(guān)系的證明，就是線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化。

當(dāng)然也包括一些大章節(jié)大題型的系統(tǒng)性的解決方法，比如導(dǎo)數(shù)和圓錐曲線等壓軸題的題型和解法，這種題型因?yàn)楸容^復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的要求比較高，就不屬于是基礎(chǔ)只是的范疇，它們的解決方法我將之劃分在基本技能中。

一般來說，我們?cè)谠嚲碇锌吹降囊恍┲械入y度的題目，僅僅考一些基礎(chǔ)性的知識(shí)沒有辦法解決，那么就需要我們有一定的基本技能的儲(chǔ)備。

這一部分說實(shí)話，和基礎(chǔ)知識(shí)不同，它是一種漸進(jìn)性的習(xí)得性的能力，需要在實(shí)踐中體會(huì)。

就類似于在這張紛亂的圖中尋找路徑。

除了學(xué)生自己的學(xué)習(xí)之外，也需要有一定的外力，比如老師的講解，因?yàn)榛炯寄苓@一方面的很多內(nèi)容，有時(shí)候是高于大部分學(xué)生當(dāng)下水平的，需要有指引、有引導(dǎo)，然后再輔以練習(xí)，這樣的效果更好。

基本的數(shù)學(xué)思想，相較于基本技能更加形而上一些，比如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。

但數(shù)學(xué)思想并不是空中樓閣，我們凡人無法接觸，在我們所學(xué)習(xí)的所有數(shù)學(xué)知識(shí)、所解決的所有數(shù)學(xué)題目中，都會(huì)使用到基本的數(shù)學(xué)思想，它們的外在體現(xiàn)就是公理定理的證明、公式的推導(dǎo)過程、題目的解決方法，學(xué)生們無時(shí)無刻不在接觸。

只不過學(xué)生們?nèi)狈ο到y(tǒng)的引導(dǎo)，也缺乏一個(gè)整體的、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

說起來，有些比較好的教輔書會(huì)有意識(shí)的進(jìn)行引領(lǐng)，比如我前一段評(píng)測(cè)推薦的某一本高中教輔，我覺得是一個(gè)比較好的嘗試。

以前我也覺得所謂的數(shù)學(xué)思想虛無縹緲，啥用都沒有，但是最近這些年，我開始有意無意的在解題過程中使用數(shù)學(xué)思想來引領(lǐng)我解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想是真實(shí)存在，并且的確有用的。

比如化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、整體思想，在數(shù)學(xué)解題的過程中熠熠生輝。

雖然不用過于追求，但是在做題反思時(shí)有意識(shí)的琢磨一下，印證一下，對(duì)于之后的解題時(shí)有幫助的。

除了上述內(nèi)容之外，我們說基礎(chǔ)，其實(shí)還包括基本能力，比如計(jì)算能力、閱讀能力、抽象思維能力里等在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較常用的能力。

比如計(jì)算能力，之前從我個(gè)人的學(xué)習(xí)成長(zhǎng)經(jīng)歷來看，是覺得計(jì)算對(duì)于高中生并不是一個(gè)問題，初中有大量訓(xùn)練，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也會(huì)有大量練習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力是會(huì)逐步提升的。

但現(xiàn)實(shí)中的確發(fā)現(xiàn)有些高中生在計(jì)算上能力還不到位，而包括計(jì)算能力在內(nèi)的基本能力，其實(shí)都需要在之前的學(xué)習(xí)中不斷積累，短期內(nèi)不好提升——不是說不能提升，而是說時(shí)間太緊張，不太可能有專項(xiàng)練習(xí)的時(shí)間。

所以在基礎(chǔ)階段就需要重視對(duì)于計(jì)算能力的適當(dāng)練習(xí)，以保證計(jì)算能力能夠跟得上數(shù)學(xué)解題的要求。

再比如閱讀能力，分析條件、提取信息，這種能力在現(xiàn)在的初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中越來越重要，同樣的也不是到了需要時(shí)就能立馬變出來的即戰(zhàn)力，仍然是需要從小學(xué)到初中、高中的不斷積累。

還有抽象思維能力，面對(duì)一個(gè)新定義、一個(gè)新問題，尤其是表現(xiàn)形式非常抽象的問題，你能否讀懂題目條件，并以之為基礎(chǔ)進(jìn)行思考呢？

其實(shí)如果孩子到了大學(xué)，學(xué)了高數(shù)或者數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、泛函、實(shí)變這些科目的話就會(huì)發(fā)現(xiàn)，抽象能力是多么重要。

所有這些基礎(chǔ)能力可能是天生的，但對(duì)于大部分孩子來說可能需要長(zhǎng)時(shí)間的不斷積累才能達(dá)到一個(gè)比較高的水平。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是一個(gè)看上去簡(jiǎn)單卻又復(fù)雜的話題，希望我今天的文章能夠幫助大家更好的把握好孩子數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的培養(yǎng)。

END