第一章 有理數(shù)

有理數(shù)三級(jí)運(yùn)算，即加減、乘除、乘方和開方

1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)

以前學(xué)過(guò)的0以外的數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“-”的書叫做負(fù)數(shù)。

以前學(xué)過(guò)的0以外的數(shù)叫做正數(shù)。

0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界。

因此，也可以說(shuō)大于零的數(shù)是正數(shù)，小于零的數(shù)是負(fù)數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。

1.2有理數(shù)

1.2.1有理數(shù)

正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)(integer)。---整數(shù)可以按正負(fù)0進(jìn)一步細(xì)分

正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)(fraction)。（小數(shù)可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示）--分?jǐn)?shù)可按正負(fù)進(jìn)一步細(xì)分

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)(rational number)。

1.2.2數(shù)軸

1）數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的一條直線.。數(shù)軸三要素：原點(diǎn)（0）、正方向、單位長(zhǎng)度。

2）無(wú)論正負(fù)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。

3）在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)(origin)。

1.2.3相反數(shù)

1）只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)(opposite number)。例如2的相反數(shù)是-2，0的相反數(shù)是0 。

2）在任意一個(gè)數(shù)前面填上“-”號(hào)，新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù)。

1.2.4絕對(duì)值

1）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值(absolute value),記作|a|。 這里的數(shù)a，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0-----只論正負(fù)0，未限制它的形態(tài)哦，也就是說(shuō)整數(shù)、分?jǐn)?shù)都可，即有理數(shù)都適用于這個(gè)定義。

2）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.

3）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

1.3 有理數(shù)的加減法

1.3.1有理數(shù)的加法

1.有理數(shù)加法法則

1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。

3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。

4）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

2.加法交換律

在有理數(shù)的加法中，兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。a+b=b+a

3. 加法結(jié)合律

有理數(shù)的加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。(a+b)+c=a+(b+c)

1.3.2有理數(shù)的減法

有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

a-b=a+(-b)，-b+a=a-b

1.4有理數(shù)的乘除法

1.4.1有理數(shù)的乘法

1.有理數(shù)乘法法則

1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。要得到一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要將它乘以-1。

2）任何數(shù)同0相乘，都得0。

3）乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

4）幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)。---負(fù)負(fù)得正

2.乘法交換律

兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。ab=ba

3.乘法結(jié)合律

兩個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。(ab)c=a(bc)

4. 乘法分配律

一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。a(b+c)=ab+ac

1.4.2有理數(shù)的除法

1. 有理數(shù)除法法則

1）除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母。

2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

3）0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。

0，不能做分母！

2. 有理數(shù)混合運(yùn)算順序

有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則與小學(xué)所學(xué)的混合運(yùn)算一樣，按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行。

1）括號(hào)最優(yōu)先

2）乘除法，從左往右按順序計(jì)算

3）最后算加減

4）0不能做分母

1.5有理數(shù)的乘方

1.5.1乘方

1.基本概念

求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪（power）。在a的n次方中，a叫做底數(shù)(base number)，n叫做指數(shù)（exponent）。當(dāng)aⁿ看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作“a的n次冪”。

2.規(guī)律

aⁿ=a*a*a*a……aⁿ

an表示n個(gè)a相乘，所以可以利用有理數(shù)的乘法運(yùn)算來(lái)進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。

負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。

正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。

3.有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序

⑴先乘方，再乘除，最后加減;

⑵同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行;

⑶如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行

1.5.2科學(xué)計(jì)數(shù)法

1.定義

1）把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10ⁿ的形式(其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù))，使用的是科學(xué)記數(shù)法。

2）系數(shù)的條件：1<=a<10；指數(shù)的條件：n，正整數(shù)

3）用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)n位整數(shù)，其中10的指數(shù)是n-1。

比如，3500000000=3.5*10⁹

2.吐槽

其實(shí)，寫那么多0太麻煩了而且占據(jù)紙張，所以，給發(fā)明了個(gè)簡(jiǎn)便表示方法。以10為底數(shù)，是因?yàn)楹糜洝⑼ㄓ谩?/span>

1.5.3近似數(shù)和有效數(shù)字

1. 近似數(shù)

一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位。

精確到個(gè)位，保留0位小數(shù)

十分位，0.1，保留1位小數(shù)

百分位，0.01，保留2位小數(shù)

千分位，0.001，保留3位小數(shù)。

2.有效數(shù)字

從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非0 數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

對(duì)于用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)a×10ⁿ，規(guī)定它的有效數(shù)字就是a中的有效數(shù)字。

第二章 整式的加減

從這里開始，就是代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)了。加了2.0代數(shù)式的基礎(chǔ)知識(shí)

2.0代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)“＋ － × ÷  …… ”連接數(shù)及表示數(shù)的字母的式子稱為代數(shù)式。

注意：用字母表示數(shù)有一定的限制，首先字母所取得數(shù)應(yīng)保證它所在的式子有意義，其次字母所取得數(shù)還應(yīng)使實(shí)際生活或生產(chǎn)有意義；單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。

2、列代數(shù)式的幾個(gè)注意事項(xiàng)：

（1）數(shù)與字母相乘，或字母與字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不寫。

（2）數(shù)與數(shù)相乘，仍應(yīng)使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘號(hào)。

（3）數(shù)與字母相乘時(shí)，一般在結(jié)果中把數(shù)寫在字母前面，如a×5應(yīng)寫成5a。

（4）在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般用分?jǐn)?shù)線將被除式和除式聯(lián)系，如3÷a寫成的形式；

（5）a與b的差寫作a-b，要注意字母順序；若只說(shuō)兩數(shù)的差，當(dāng)分別設(shè)兩數(shù)為a、b時(shí)，則應(yīng)分類，寫做a-b和b-a .

3、幾個(gè)重要的代數(shù)式：

（1）a與b的平方差是：a²-b²； a與b差的平方是：（a-b）²。

（2）若a、b、c是正整數(shù)，則兩位整數(shù)是：10a+b；則三位整數(shù)是：100a+10b+c。

（3）若m、n是整數(shù)，則被5除商m余n的數(shù)是：5m+n；偶數(shù)是：2n，奇數(shù)是：2n+1；三個(gè)連續(xù)整數(shù)是：n-1、n、n+1。

2.1整式

1.單項(xiàng)式

1）定義

在代數(shù)式中，若只含有乘法（包括乘方）運(yùn)算?；螂m含有除法運(yùn)算，但除式中不含字母的一類代數(shù)式叫項(xiàng)式。

3）單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)

單項(xiàng)式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項(xiàng)式的數(shù)字系數(shù)，簡(jiǎn)稱單項(xiàng)式的系數(shù)；系數(shù)不為零時(shí)，單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和，叫單項(xiàng)式的次數(shù)。

100t，a²h，-n，系數(shù)分別為100,1,-1

100t，字母t的指數(shù)是1，所以100t的次數(shù)是1，叫1次單項(xiàng)式

a²h，字母a與h的指數(shù)和是3，所以a²h的次數(shù)是3，叫3次單項(xiàng)式

2.多項(xiàng)式

1）定義

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式。

2）多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與次數(shù)

多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)；

多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)；注意：（若a、b、c、p、q是常數(shù)）ax²+bx+c和x²+px+q是常見的兩個(gè)二次三項(xiàng)式。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，統(tǒng)稱整式。

2.2整式的加減

同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式是同類項(xiàng)。

合并同類項(xiàng)法則：系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變。

去（添）括號(hào)法則：去（添）括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前邊是“+”號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；若括號(hào)前邊是“-”號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都要變號(hào)。

整式加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)：實(shí)際上是在去括號(hào)的基礎(chǔ)上，把多項(xiàng)式的同類項(xiàng)合并。

整式加減運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。

第三章 一元一次方程

方程是含有未知數(shù)的等式。它是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具。人們經(jīng)常用字母表示其中的未知數(shù)，通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系，列出方程表示相等關(guān)系，然后解方程求出未知數(shù)。

3.1從算式到方程

3.1.1一元一次方程

1.定義

方程都只含有一個(gè)未知數(shù)（元）x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。

解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值就是方程的解(solution)。

3.1.2等式的性質(zhì)

背等式的性質(zhì)，是為了求出方程的解。

1.等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。

2.等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

3.2解一元一次方程（一）

合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

利用等式的性質(zhì)（見3.1.2）可以解簡(jiǎn)單的方程。本節(jié)重點(diǎn)是如利用“合并同類項(xiàng)”和“移項(xiàng)”解一元一次方程。

合并同類項(xiàng)：之前已學(xué)過(guò)。

移項(xiàng)：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。

3.3解一元一次方程（二）

去括號(hào)與去分母

3.4實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程

配套的物品之間具有一定的數(shù)量關(guān)系，作為列方程的依據(jù)。

常常把工作總量看作1，利用實(shí)際問(wèn)題中的相等關(guān)系“工作量=人均效率*人數(shù)*時(shí)間”“路程=速度*時(shí)間”來(lái)列等式。

第四章 幾何圖形初步

幾何起源，與建筑密切相關(guān)~~幾何，是研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的一門學(xué)科。

本章主要內(nèi)容：直線、線段、角等最基本的幾何圖形性質(zhì)。為以后學(xué)習(xí)復(fù)雜幾何做準(zhǔn)備。

4.1幾何圖形

舉例：軍博、鳥巢、住宅，立交橋、交通標(biāo)志、城市雕塑，自然界形態(tài)各異的動(dòng)物、植物、微生物……

形狀：方的、圓的

大小：長(zhǎng)度、面積、體積、容積

位置關(guān)系：相交、垂直、平行

4.1.1立體圖形與平面圖形

1.定義

1）有些幾何圖形，比如長(zhǎng)方體、立方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等，各部分不都在同一平面內(nèi)，他們是立體圖形。

2）有些幾何圖形，比如線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、圓等，各部分都在同一平面內(nèi)，他們是平面圖形。

3）二者關(guān)系：對(duì)于一些立體圖形的問(wèn)題，常把它們轉(zhuǎn)化為平面圖形來(lái)研究處理。雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它們是互相聯(lián)系的。立體圖形中某些部分是平面圖形，例如長(zhǎng)方體的側(cè)面是長(zhǎng)方形。

從不同方向看立體圖形，往往會(huì)得到不同形狀的平面圖形。---視角。

4）展開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形未成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖。

4.1.2點(diǎn)、線、面、體

定義：

幾何體也簡(jiǎn)稱體(solid)。

包圍著體的是面（surface）。

幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的，點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素。

以下，理解：

點(diǎn)動(dòng)，成線----筆尖，動(dòng)，畫線

線動(dòng)，成面----雨刷，刷，扇形

面動(dòng)，成體----長(zhǎng)方形硬紙片，繞一邊旋轉(zhuǎn)，圓柱體。

4.2直線、射線、線段

1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。

即，兩點(diǎn)確定一條直線。

2.兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。即，兩點(diǎn)之間，線段最短。連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫作這兩點(diǎn)的距離（distance）。

3.當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱這兩條直線相交（intersection），這個(gè)公共點(diǎn)叫作他們的交點(diǎn)（point of intersection）。

4.射線和線段都是直線的一部分。

5.字母表示線段：線段AB（或線段BA），其中點(diǎn)A、點(diǎn)B是線段的端點(diǎn)。

6.字母表示射線：射線OA，其中O是射線的端點(diǎn)。

7.點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，則點(diǎn)A叫作線段AB的中電（midpoint）。類似的，還有線段的三等分點(diǎn)（兩個(gè)）、四等分點(diǎn)（三個(gè)）。

4.3角

4.3.1角

量角器，度、分、秒，進(jìn)制60度。角度制，起源于古巴比倫。

1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度

4.3.2角的比較與運(yùn)算

1.量角器

2.一邊折疊，比較另一邊的位置

3.角的平分線（1條）、三等分線（2條）-----出題，數(shù)角的多少

4.3.3余角

如果兩個(gè)角的和等于90度，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角互余。

如果兩個(gè)角的和等于180度，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角互補(bǔ)。

關(guān)于余角的一個(gè)性質(zhì)：同角（等角）的余角相等

關(guān)于補(bǔ)角的一個(gè)性質(zhì)：同角（等角）的補(bǔ)角相等

4.4課題學(xué)習(xí)

設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方體形狀的包裝紙盒

目的：培養(yǎng)立體感、空間想象力~