系列序:

?我們知道, 量子力學(xué)是當(dāng)代物理系的核心專業(yè)課, 相較于其它物理學(xué)的應(yīng)用學(xué)科, 物理專業(yè)在量子力學(xué)這一現(xiàn)代物理學(xué)的支柱學(xué)科上無論是深度還是廣度都是具有相當(dāng)區(qū)分度的(絕大多數(shù)工科不需要學(xué)習(xí)量子力學(xué), 會(huì)用到量子力學(xué)的化學(xué)專業(yè)相較于物理專業(yè)而言也是比較粗淺的). 然而, 眾所周知, 量子力學(xué)是通過“線性代數(shù)”(實(shí)際上是泛函分析, 但這是物理學(xué)家的黑話了, 物理學(xué)家通常用微積分和線性代數(shù)泛指其用到的所有數(shù)學(xué)知識(shí), 無論是拓?fù)鋵W(xué)、微分流形、泛函分析還是其它, 畢竟它們歸根到底都可以視作是某種“微積分”或者“線性代數(shù)”, 當(dāng)然, 頂多再加一份變質(zhì)了的“概率論”)這套語言進(jìn)行表述的. 然而, 大多數(shù)人接觸線性代數(shù)是在大學(xué)一年級(jí)的第一學(xué)期, 而接觸量子力學(xué)則要等到第四學(xué)期乃至于第五學(xué)期, 之間的很多內(nèi)容其實(shí)只會(huì)用到很少的線性代數(shù). 不僅如此, 國內(nèi)的線性代數(shù)通常只有一個(gè)學(xué)期的課時(shí), 講述的知識(shí)實(shí)際上無法覆蓋量子力學(xué)學(xué)習(xí)真正需要的部分, 特別是線性空間和線性算子相關(guān), 而這些對(duì)理解量子力學(xué)至關(guān)重要.

?長(zhǎng)久以來, 當(dāng)有試圖學(xué)習(xí)量子力學(xué)的初學(xué)者向我咨詢參考書之時(shí), 我都會(huì)向他們強(qiáng)烈推薦R. Shankar所著Principle of Quantum Mechanics, 相較于其他人習(xí)慣于推薦的Quantum Mechanics(by D. Griffith), 這本書從一開始就拋棄了傳統(tǒng)的波函數(shù)敘事, 而是直接使用了現(xiàn)代物理學(xué)家更熟悉的Dirac記號(hào), 并且在這個(gè)記號(hào)的基礎(chǔ)上帶著讀者學(xué)習(xí)(或者復(fù)習(xí))了一遍量子力學(xué)中最為基礎(chǔ)的那部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí), 包括線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及一些積分相關(guān)的內(nèi)容(另一本書則是Cohen Tannoudji的兩卷本, 這本書厚是厚了點(diǎn), 但確實(shí)全面, 它的前三章對(duì)需要用到的數(shù)學(xué)也做了梳理, 但是還是默認(rèn)讀者有著一定的線性代數(shù)基礎(chǔ), 這就不如Shankar了, 畢竟Shankar直接假設(shè)讀者只有大學(xué)一年級(jí)的物理水平, 也就是只熟悉三維歐式空間的各種矢量而已, 頂多了解一點(diǎn)點(diǎn)低階矩陣, 這畢竟是AP課程的一部分). 最重要的是, 這本書自帶習(xí)題的解答, 這對(duì)自學(xué)而言至關(guān)重要. 事實(shí)上, 我往往推薦初學(xué)者至少閱讀完Shankar的第一章再轉(zhuǎn)入其它教科書的學(xué)習(xí)之中.

?為了方便初學(xué)者, 在這個(gè)系列中我會(huì)將Shankar書的第一章翻譯出來, 讀者如果覺得確實(shí)符合自己的胃口, 可以找到其原版書進(jìn)行閱讀. 即便覺得不符合自己的胃口, 我也強(qiáng)烈建議讀者在閱讀完這一章之后再轉(zhuǎn)入其它教科書的懷抱. 另外, 我并不是完全直譯, 部分語段我可能會(huì)采用意譯的方式, 甚至?xí)苯痈牟糠衷? 考慮到我自己語言水平不佳, 所有語句不順以及表述不清的問題, 其責(zé)任都在我. 還是那句話, 讀者若是覺著讀著不順或者難以理解, 請(qǐng)轉(zhuǎn)讀原書, 畢竟我只是個(gè)不合格的二道販子罷了.

本章序:

(這是原書第一章的章序言, 我認(rèn)為讀者有必要時(shí)刻記住Shankar老先生的叮囑, 因此決定每一篇前都帶上這一章序.)

?本書目的在于從其公理開始向讀者介紹量子力學(xué), 而本章的目的則在于使讀者具備必要(而且完整系統(tǒng))的數(shù)學(xué). 假定讀者對(duì)矢量以及矩陣的基本概念有一些了解, 從這些基礎(chǔ)開始, 我們需要的所有數(shù)學(xué)知識(shí)都可以在這一章學(xué)到. 書中給出了大量和經(jīng)典力學(xué)相關(guān)的例子以及習(xí)題, 這既可以減輕數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)(畢竟這提供了充分的實(shí)例以及動(dòng)機(jī). —— 譯者注), 又證明這里提出的思想之廣泛適用性. 你們?cè)谶@一章所付出的努力將是非常值得的: 它不僅幫你們做好學(xué)習(xí)量子力學(xué)這門課的準(zhǔn)備, 而且還可以將你們零碎學(xué)到的很多思想統(tǒng)一起來. 要真正學(xué)習(xí)這一章, 你們必須像學(xué)習(xí)其他章節(jié)一樣, 完成附帶的習(xí)題.

學(xué)生須知:

(這是原書中序言的一部分, 我特別將其摘錄出來, 因?yàn)樗岬搅说谝徽碌闹匾?)

?盡你們所能完成習(xí)題, 越多越好 —— 特別是標(biāo)有或者結(jié)果中帶有公式標(biāo)號(hào)的那些. 每個(gè)習(xí)題的答案要么隨習(xí)題一道給出, 要么在本書的結(jié)尾給出.

?第一章極其重要. 不要匆匆跳過, 即便你們已經(jīng)熟悉了那些數(shù)學(xué), 也至少讀一讀, 熟悉一下符號(hào).

?我并不是說這門課簡(jiǎn)單, 但是我希望這本書能讓它合理一點(diǎn).

?祝你們好運(yùn)!

閱讀須知:

?這本書畢竟是一本物理書, 書中對(duì)諸多數(shù)學(xué)概念的處理充滿了“物理人”的“隨意”, 其嚴(yán)謹(jǐn)性相較于數(shù)學(xué)書欠缺了那么一點(diǎn). 但無傷大雅, 因?yàn)橹灰汩喿x的是物理書, 大多數(shù)作者對(duì)數(shù)學(xué)概念的態(tài)度和本書是差不多的. 所以安心接受本書作者的說法就是.

?或許有人會(huì)覺得這里介紹的數(shù)學(xué)知識(shí)有點(diǎn)少, 畢竟線性代數(shù)至少還要學(xué)一學(xué)期呢, 這里介紹的內(nèi)容甚至不足兩周的課時(shí)! 然而事實(shí)上, 學(xué)習(xí)量子力學(xué)這些知識(shí)足夠了! 其余需要的線性代數(shù)知識(shí)基本上我們都可以在這門課程中通過具體案例接觸, 而不必專門去學(xué)習(xí).

1.1 線性矢量空間基礎(chǔ)

?在這一節(jié)我們會(huì)學(xué)習(xí)線性矢量空間(linear vector spaces). 你們肯定對(duì)基礎(chǔ)物理中那些用于表示速度、力、位移、扭矩等的大小與方向的箭頭頗為熟悉了. 你們知道它們是如何相加的, 也知道它們?nèi)绾闻c一個(gè)標(biāo)量相乘, 并且知道這兩個(gè)運(yùn)算所遵循的規(guī)則. 比如說, 你們知道標(biāo)量乘法滿足分配律(原書第二版中是結(jié)合律, 應(yīng)為筆誤. —— 譯者注): 矢量和的倍數(shù)等于其倍數(shù)的和.  我們要做的就是從這些簡(jiǎn)單的例子出發(fā)抽象出一組基本特征或者說公理, 服從這組特征(或者公理)的任意對(duì)象的集合就構(gòu)成一個(gè)線性矢量空間(按照現(xiàn)在的習(xí)慣, 我們或稱線性空間, 或稱矢量空間. —— 譯者注). 關(guān)鍵在于在推廣時(shí)保留哪些性質(zhì): 如果你們保留得太多, 就不會(huì)有其他滿足這些性質(zhì)的例子; 但是保留的太少, 就又不會(huì)從這些公理中得到有趣的結(jié)果.

?下面我們將看到的就是經(jīng)過數(shù)學(xué)家們精心挑選后構(gòu)成矢量空間所必須的性質(zhì)的列表. 當(dāng)你們閱讀它們的時(shí)候, 請(qǐng)將其與你們熟悉的“箭頭世界”相比較, 確保它們確實(shí)是你們所熟悉的這些矢量所滿足的性質(zhì). 但是也請(qǐng)注意, 這些性質(zhì)當(dāng)中, “箭頭世界”中每個(gè)矢量都有其大小和方向的這一要求明顯缺失了, 而這是我們第一次聽到矢量這個(gè)概念后腦海中第一個(gè)也是最為顯著的特征. 因此你們或許會(huì)這樣認(rèn)為: 舍棄該要求就是倒洗澡水時(shí)將孩子一同倒掉(Throw the baby out with the baby bath water, 這是一則廣泛流傳的俗語, 意思是不分精華糟粕而全盤否定. —— 譯者注). 然而, 你們有充足的時(shí)間欣賞這一選擇背后的智慧, 因?yàn)槟銈儗?huì)看到在矢量空間這一標(biāo)題之下, 各種思想的偉大統(tǒng)一以及綜合. 你們會(huì)看到一些矢量空間的例子, 它們包含一些我們無法直觀感受的對(duì)象, 它們既沒有大小, 也沒有方向. 雖說你們應(yīng)該對(duì)前面所述印象深刻, 但是煩請(qǐng)牢記, 通過箭頭來思考這些推廣, 并借此直覺來證明定理或者至少預(yù)見到它們, 這樣做并非壞事.

定義1(線性矢量空間): 線性矢量空間是一些稱作矢量(vector)的對(duì)象, , , , , , 的集合, 該集合之上存在

1. 生成矢量之和的明確規(guī)則, 矢量和之和記作;
2. 與標(biāo)量等相乘的明確規(guī)則, 矢量與標(biāo)量相乘記作;

并且這兩個(gè)運(yùn)算滿足下述特征:

• 它們運(yùn)算得到的結(jié)果還是該空間的矢量, 這一特征稱作封閉性(closure): , .
• 標(biāo)量乘法對(duì)矢量加法滿足分配律(distributive in the vectors): .
• 標(biāo)量乘法對(duì)標(biāo)量加法滿足分配律(distributive in the scalars): .
• 標(biāo)量乘法滿足結(jié)合律(associative): .
• 加法滿足交換律(commutative): .
• 加法滿足結(jié)合律: .
• 存在一個(gè)滿足的矢量, 稱作零矢量(null vector).
• 對(duì)于每個(gè)矢量, 存在其加法逆元使得.
• 對(duì)于標(biāo)量, 我們有.

?記住這些要求有一個(gè)很棒的方法, 那就是順其自然(因?yàn)樗鼈儩M足的不過是我們希望加法和乘法所具有的運(yùn)算律罷了. —— 譯者注).

定義2(矢量空間所在的數(shù)域): 定義1中定義矢量空間時(shí)所提及的數(shù)所在的空間稱作所在的數(shù)域(field).

?如果這個(gè)數(shù)域由所有實(shí)數(shù)構(gòu)成, 我們就得到了一個(gè)實(shí)矢量空間(real vector space); 如果由所有復(fù)數(shù)構(gòu)成, 我們就得到復(fù)矢量空間(complex vector space). 但是矢量本身既非實(shí)數(shù)也非復(fù)數(shù) —— 這一形容詞是對(duì)標(biāo)量而言的.

?我們要注意, 上述公理可以推出

• 是唯一的, 也就是說, 如果也有所滿足的性質(zhì), 則.
• .
• (這里應(yīng)該理解為標(biāo)量與的乘積. —— 譯者注).
• 是唯一的加法逆元.

它們的證明留作下面的習(xí)題. 它們的證明不是必須的, 但是你們必須知道這些結(jié)論.

習(xí)題1.1.1: 驗(yàn)證上面的這些斷言.

提示: 對(duì)于第一個(gè)斷言, 考察, 然后依次使用這兩個(gè)零矢量所具有的性質(zhì). 第二個(gè)斷言則從考察開始. 第三個(gè)斷言應(yīng)該從開始. 至于最后一個(gè), 設(shè)也滿足. 因?yàn)槭俏ㄒ坏? 這就意味著. 然后從這里開始即可,

習(xí)題1.1.2: 考察所有形式為且均為實(shí)數(shù)的三元組的集合. 在其上定義加法和乘法如下:

寫出這一空間中的零矢量以及的加法逆元. 證明所有形式為的矢量不構(gòu)成矢量空間.

?注意, 我們現(xiàn)在正在使用一個(gè)新的符號(hào)來表示一個(gè)一般的矢量. 這個(gè)東西讀作ket (雖然按理這里應(yīng)該寫成右矢, 但是通常我們還是習(xí)慣于將右矢讀作ket. —— 譯者注), 稱作右矢(ket), 這一命名源于Dirac, 稍后我們會(huì)詳細(xì)討論他的這套記號(hào). 作為讓你們擺脫“矢量是箭頭”的這一有限觀念的第一步, 我有意不采用的這套記號(hào)來表示矢量. 然而, 在你們看到足夠的非箭頭矢量并做好丟開“拐杖”的準(zhǔn)備之前, 我并不反對(duì)你們將與類似箭頭的物件聯(lián)系起來.

?你們應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證箭頭的集合確實(shí)構(gòu)成前面公理所確定的矢量空間. 接下來是一些你應(yīng)當(dāng)知道的關(guān)鍵想法. 矢量空間由箭頭組成, 其典型元素形如和, 它們的加法是我們所熟悉的: 取第二個(gè)箭頭的尾部, 將其放置到第一個(gè)箭頭的頂端, 它們的和就如圖1.1所示.

?而箭頭與標(biāo)量的標(biāo)量乘法就是將其拉伸一個(gè)因子. 這是一個(gè)實(shí)矢量空間, 因?yàn)槔煲粋€(gè)復(fù)數(shù)因子是沒有意義的. (如果是負(fù)數(shù), 我們可以將其解釋為改變箭頭的方向并拉伸一個(gè)因子.) 因?yàn)檫@些作用于箭頭的操作會(huì)給出更多的箭頭, 我們就有了封閉性. 加法和標(biāo)量乘法顯然具有所有需要其滿足的結(jié)合律和分配律特征. 零矢量是長(zhǎng)度為零的箭頭, 而一個(gè)箭頭的加法逆元就是與其方向相反且長(zhǎng)度相同的箭頭.

?于是所有箭頭的集合就是一個(gè)矢量空間, 但是我們不能瞎擺弄(tamper)它. 比如說, 所有沿著軸正方向的箭頭就不構(gòu)成矢量空間, 因?yàn)樗鼈儧]有加法逆元.

?請(qǐng)注意, 到目前為止, 我們都還沒有提到大小以及方向. 其原因在于雖然箭頭具有這些特性, 但是矢量空間的元素卻不必如此. 然而除非我能夠向你們提供一些例子, 否則該陳述毫無意義.

?考察所有矩陣的集合, 我們知道它們?nèi)绾蜗嗉? 也知道如何將它們與標(biāo)量相乘(即四個(gè)矩陣元都乘以該標(biāo)量). 其加法規(guī)則和數(shù)乘規(guī)則也服從封閉性、結(jié)合律以及分配律. 零矢量就是零矩陣, 即所有矩陣元都是零的矩陣. 而一個(gè)矩陣的加法逆元就是其對(duì)應(yīng)矩陣元相反數(shù)構(gòu)成的矩陣. 你們必須承認(rèn)現(xiàn)在我們確實(shí)得到了一個(gè)一般的矢量空間, 它由一些明顯沒有長(zhǎng)度和方向的東西組成(當(dāng)然, 我們可以人為加上長(zhǎng)度和方向, 這只要規(guī)定參考方向, 然后取內(nèi)積和模即可,  因此原文為沒有明顯的長(zhǎng)度和方向. 我修改了一下語句使其語氣更為獨(dú)斷論一點(diǎn). —— 譯者注). 當(dāng)我們希望強(qiáng)調(diào)矩陣是一個(gè)矢量空間的元素之時(shí), 我們就可以稱其為ket 4或者說.

?第二個(gè)例子我們來考察定義在區(qū)間上的所有函數(shù). 我們定義其與標(biāo)量相乘的結(jié)果為. 而加法則定義為逐點(diǎn)相加: 函數(shù)和的和在點(diǎn)處的函數(shù)值為. 零矢量就是處處為零的那個(gè)函數(shù)(即零函數(shù)), 而的加法逆元就是.

習(xí)題1.1.3: 第二個(gè)例子中在端點(diǎn)和處為零的全部函數(shù)是否構(gòu)成矢量空間? 滿足的所有周期函數(shù)(periodic function)呢? 滿足的所有函數(shù)呢? 如果它們之中某個(gè)不構(gòu)成矢量空間, 請(qǐng)說明其不滿足哪一條性質(zhì).

?下一個(gè)概念就是矢量組的線性無關(guān)性(linear independence). 首先考察形式為

的線性關(guān)系(我們將的左邊稱作矢量組的線性組合. —— 譯者注).

?不失一般性, 我們可以假設(shè)左邊不含的倍數(shù)項(xiàng), 因?yàn)槿绻筮叴嬖谶@么一項(xiàng), 我們就可以將其移到右邊, 將其與相加我們就再一次得到了. (這里我們用到了的任意倍均為的事實(shí).)

定義3(線性相關(guān)與線性無關(guān)): 如果線性關(guān)系成立只有平凡解 —— 即所有, 則稱這組矢量是線性無關(guān)(linearly independent)的. 如果一組矢量不是線性無關(guān)的, 我們就稱其線性相關(guān)(linearly dependent).

?方程告訴我們線性無關(guān)組中任意元素都不可能用其它元素(線性)表示出來. 另一方面, 如果矢量組是線性相關(guān)的, 這樣的關(guān)系就會(huì)存在, 并且至少有兩個(gè)非零的系數(shù). 比方說我們?cè)O(shè), 則我們就可以寫下

這樣我們就將用其它矢量表示出來了.

?一個(gè)具體的例子是這樣的(注意這里是在箭頭空間中討論問題. —— 譯者注): 我們考察平面上兩個(gè)不平行的矢量和, 它們就構(gòu)成一個(gè)線性無關(guān)組. 我們沒有辦法將其中一個(gè)矢量寫成另一個(gè)矢量的倍數(shù), 或者等價(jià)地說, 不可能將它們組合起來得到零矢量. 另一方面, 如果它們相互平行, 那么我們顯然可以將一個(gè)矢量寫成另一個(gè)矢量的倍數(shù), 或者等價(jià)地, 將它們組合起來得到.

?注意我這里說的是而不是. 嚴(yán)格地說, 這樣做是不正確的, 因?yàn)槭噶肯嗉拥玫降谋厝皇且粋€(gè)矢量而不是一個(gè)數(shù). 然而, 將零矢量簡(jiǎn)單地寫成是一種很常見的行為.

?假設(shè)我們?cè)谶@個(gè)平面上引入第三個(gè)矢量. 如果它平行于前兩個(gè)矢量中的任意一個(gè), 我們自然就得到了一組線性相關(guān)的矢量, 因此讓我們假設(shè)并非如此. 但即便如此, 我們?nèi)匀豢梢詳喽ㄟ@三個(gè)矢量是線性相關(guān)的. 這是因?yàn)槲覀兛梢詫⑺麄冎械囊粋€(gè) —— 比方說—— 寫成另外兩個(gè)矢量的線性組合. 要找到該組合, 我們首先從的尾部沿著的方向畫一條線. 然后從的頂端畫一條與反向平行的線. 這兩條線必然相交, 因?yàn)楦鶕?jù)假設(shè), 和彼此不平行. 兩條線的交點(diǎn)就可以告訴我們希望得到的和的倍數(shù)是多少: 我們從的尾部出發(fā)通過的合適倍數(shù)抵達(dá), 從的頂端出發(fā)通過的合適倍數(shù)抵達(dá).

習(xí)題1.1.4: 考察所有實(shí)矩陣構(gòu)成的矢量空間中的三個(gè)元素:

它們是否線性無關(guān)? 給出細(xì)節(jié)支持你的判斷. (注意我們稱這些矩陣為矢量, 因此使用右矢來表示它們, 以此強(qiáng)調(diào)其為矢量空間元素的身份.)

習(xí)題1.1.5: 證明行矢量, 以及是線性相關(guān)的. 證明, 和卻是線性無關(guān)的.

定義4(維數(shù)): 如果一個(gè)矢量空間最多容納個(gè)線性無關(guān)的矢量, 我們就稱其維數(shù)(dimension)為. 如果其數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù), 則將其記作, 如果數(shù)域?yàn)閺?fù)數(shù), 則將其記作.

---

譯者注: 原書用和表示實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù), 這是因?yàn)橥ǔ５慕炭茣捎煤诎宕煮w和實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo), 但是我們已經(jīng)用黑板粗體用來表示矢量空間了. 為了和常規(guī)書籍保持一致, 這里我們采用黑正體等表示數(shù)集, 畢竟這是另一套常見的數(shù)集符號(hào).

?鑒于早先的討論, 我們知道平面是二維的, 而所有不限于該平面的箭頭的集合定義了一個(gè)三維矢量空間. 那矩陣的全體呢? 它們構(gòu)成了一個(gè)四維的矢量空間. 這里有一個(gè)證明: 下面的矢量是線性無關(guān)的:

因?yàn)樗鼈冎虚g任意三個(gè)的線性組合都不可能給出第四個(gè)矢量, 畢竟第四個(gè)矢量中非零矩陣元所在的位置處其余三個(gè)矢量的矩陣元都是零. 因此這個(gè)矢量空間至少是四維的. 維數(shù)可以更高一點(diǎn)嗎? 不可以! 因?yàn)槿我庖粋€(gè)矩陣都可以用它們四個(gè)表示出來:

?如果標(biāo)量都是實(shí)數(shù), 我們就得到了一個(gè)實(shí)四維空間, 如果它們都是復(fù)數(shù), 則我們就得到了一個(gè)復(fù)四維空間.

定理1: 若是維矢量空間中的矢量, 則它可以寫成個(gè)線性無關(guān)的矢量的線性組合(linear combination).

?茲證明如下: 如果存在一個(gè)矢量使得其不成立, 則我們將其加入到已有的線性無關(guān)矢量組中就得到個(gè)線性無關(guān)矢量構(gòu)成的矢量組, 根據(jù)定義這在維空間中是不可能的.

定義5(基): 我們將維矢量空間中個(gè)線性無關(guān)矢量構(gòu)成的矢量組稱作該矢量空間的一組基(basis).

?于是, 在上面的定義下, 定理1可以寫作

其中這些矢量構(gòu)成一組基.

定義6(矢量在基下的分量): 矢量在一組線性無關(guān)的基(比如中的)下線性展開的系數(shù)(比如中的)稱作該矢量在這組基下的分量(component).

定理2: 給定矢量和一組基, 其形如的展開是唯一的.

?假設(shè)這個(gè)展開不唯一, 我們就可以找到第二個(gè)展開式

用減去我們就得到(也就是給第二個(gè)式子乘以標(biāo)量, 然后兩個(gè)式子相加)

這就推出

因?yàn)榛噶渴蔷€性無關(guān)的, 它們之間只存在平凡的線性關(guān)系. 注意給定一組基后分量是唯一的, 但是如果我們換一組基, 對(duì)應(yīng)的分量就會(huì)發(fā)生改變. 我們將視作是抽象矢量, 它自身存在, 且滿足與其它矢量的各種關(guān)系. 當(dāng)我們選定好一組基后, 抽象矢量就以其分量表示出來, 而矢量之間的關(guān)系就用分量之間滿足的關(guān)系表示. 打個(gè)比方, 假想平面上有三個(gè)箭頭, 和, 它們之間依照箭頭的加法法則滿足. 到目前為止我們還沒有選定好一組基, 我們也不需要一組基來證明這些矢量構(gòu)成一個(gè)閉合三角形. 現(xiàn)在, 我們選定一組基, 并且將每個(gè)矢量以其分量表示. 那么這些分量就會(huì)滿足, . 如果我們選擇另一組基, 這些分量的數(shù)值也會(huì)發(fā)生變化, 但是它們之間的關(guān)系 —— 表示這個(gè)量與其余兩個(gè)矢量之和相等 —— 在新的分量下仍舊成立.

?在非箭頭矢量的情況下, 如初等情形那樣將它們的分量相加以實(shí)現(xiàn)矢量相加要?dú)w功于那些公理. 如果

且

則

這里我們用到了那些公理(確切地說, 用到了交換律來將同一基的倍數(shù)放到一起, 然后逆用分配律提出因子. —— 譯者注)來重組那些項(xiàng). 最終結(jié)論如下:

兩個(gè)矢量要相加, 只需讓它們的分量相加.

?這里沒有提到將一個(gè)矢量的尾部添加到另一個(gè)矢量的頂端等操作, 因?yàn)橐话愕氖噶坎]有頂部和尾部. 當(dāng)然, 如果我們處理的是箭頭, 并希望求它們的和, 我們既可以采用基于它們尾部與頂部的慣常操作, 也可以在一組基下簡(jiǎn)單地將它們的分量相加.

?同樣的方式, 我們有

換句話說,

矢量與標(biāo)量相乘, 只需將其所有分量與該標(biāo)量相乘即可.

1.2 內(nèi)積空間

?有了矩陣和函數(shù)的例子, 你現(xiàn)在應(yīng)該可以相信存在其元素沒有預(yù)先定義的長(zhǎng)度以及方向的矢量空間了. 但是, 我們可以構(gòu)造出這樣一些量, 它們與箭頭情形下箭頭的長(zhǎng)度與夾角滿足相同的性質(zhì). 第一步是定義箭頭點(diǎn)積的合理類比. 在箭頭的情形中, 點(diǎn)積定義為

由此我們可以得到箭頭的長(zhǎng)度為, 而兩個(gè)箭頭和夾角的余弦值為. 現(xiàn)在你可能會(huì)這樣反對(duì): 如果點(diǎn)積本身需要用到長(zhǎng)度和夾角, 我們又怎么可以用點(diǎn)積來定義長(zhǎng)度和夾角呢? 其回答是這樣的: 回憶點(diǎn)積可以由分量給出其與等價(jià)的第二種表達(dá)式:

我們的目標(biāo)是在已經(jīng)有矢量在一組基下的分量這一概念之后, 為點(diǎn)積的一般情況定義一個(gè)類似的公式. 為此, 我們回憶上面的點(diǎn)積之主要特征:

1. (對(duì)稱性, symmetry).
2. 且等號(hào)成立的充要條件是(半正定性, positive semidefiniteness).
3. (線性, linearity).

?點(diǎn)積線性性質(zhì)的示意圖見圖1.2.

?我們希望在任意兩個(gè)矢量和之間定義一種點(diǎn)積的推廣, 并稱之為內(nèi)積(inner product)或者標(biāo)量積(scalar product). 我們用符號(hào)來表示它(確切地說, 是, 我們把中間的兩條豎線合并為一條了. —— 譯者注). 它依舊是一個(gè)依賴于兩個(gè)矢量的數(shù)(通常是復(fù)數(shù)). 我們要求其滿足下述公理:

• (斜對(duì)稱性, skew-symmetry).
• 且等號(hào)成立的充要條件是(半正定性, positive semidefiniteness).
• (對(duì)右矢線性, linearity in ket).

定義7(內(nèi)積空間): 帶有內(nèi)積的矢量空間稱作內(nèi)積空間(inner product space).

?注意, 我們目前還沒有給出一個(gè)可以用來實(shí)際計(jì)算標(biāo)量積的具體規(guī)則 —— 我們只是要求我們提出的任何一個(gè)計(jì)算規(guī)則都必須滿足這些性質(zhì). 為了找到這樣一條規(guī)則, 讓我們首先熟悉熟悉公理. 第一條公理和點(diǎn)積所滿足的第一條公理稍有不同, 這使得內(nèi)積對(duì)參與運(yùn)算的兩個(gè)因子的順序很是敏感, 不同的順序之間相差了一個(gè)復(fù)共軛. 在實(shí)矢量空間中, 這條公理就給出了兩個(gè)矢量交換時(shí)點(diǎn)積所滿足的對(duì)稱性. 就目前而言, 我們需要注意到這條公理保證了是實(shí)數(shù).

?第二條公理則指出不僅是實(shí)數(shù), 它還是半正定的, 它只在矢量自身為零時(shí)等于零. 如果我們要將矢量的長(zhǎng)度定義為該矢量與其自身內(nèi)積的算術(shù)平方根(就如同點(diǎn)積那樣), 那么這個(gè)內(nèi)積最好是實(shí)數(shù), 并且對(duì)于所有非零矢量為正數(shù). (因此第二條公理保證了這樣定義是合理的. —— 譯者注)

?最后一條公理表述了當(dāng)標(biāo)量積的第二項(xiàng)中出現(xiàn)矢量的線性疊加(linear superposition)時(shí)內(nèi)積的線性性質(zhì). 我們業(yè)已討論其于箭頭情形時(shí)的有效性(圖1.2).

?那當(dāng)內(nèi)積的第一個(gè)因子中出現(xiàn)線性疊加時(shí) —— 也就是—— 又是怎么樣呢? 這由第一條公理予以確定:

這就給出了內(nèi)積關(guān)于其第一個(gè)因子的反線性(antilinearity)性質(zhì)(通常數(shù)學(xué)書中也稱之為共軛線性性質(zhì). —— 譯者注). 換句話說, 如果矢量的線性疊加出現(xiàn)在內(nèi)積的第二個(gè)因子中, 則它關(guān)于另一個(gè)矢量的內(nèi)積就是各自內(nèi)積的線性疊加, 如果矢量的線性疊加出現(xiàn)在內(nèi)積的第一個(gè)因子中, 則它關(guān)于另一個(gè)矢量的內(nèi)積就是各自內(nèi)積系數(shù)取復(fù)共軛后再線性疊加. 這種不對(duì)稱性在實(shí)矢量空間中是見不到的, 但是隨著課程的進(jìn)行你會(huì)慢慢熟悉它.

?讓我們繼續(xù)討論內(nèi)積. 即便我們目前試圖擺脫“矢量就是箭頭”這一觀念的限制, 在尋求點(diǎn)積這一概念的推廣時(shí)我們?nèi)耘f要使用一些相同的術(shù)語.

定義8(正交、垂直): 如果兩個(gè)矢量的內(nèi)積為零, 則稱它們正交(orthogonal)或者垂直(perpendicular).

定義9(范數(shù)、長(zhǎng)度): 我們將稱作矢量的范數(shù)(norm, 這里也可以譯作模)或者長(zhǎng)度. 如果矢量具有單位長(zhǎng)度, 即范數(shù)為, 則稱其為歸一化矢量(normalized vector).

定義10(正交歸一基): 一組范數(shù)為且彼此正交的基矢的集合稱作一組正交歸一基(orthonormal basis).

?我們也經(jīng)常將內(nèi)積或者標(biāo)量積稱作點(diǎn)積(但我在翻譯之時(shí)都盡可能在非箭頭情形避免使用點(diǎn)積一詞了. 不過不排除某些地方我沒注意到. —— 譯者注).

?現(xiàn)在我們就可以準(zhǔn)備得出用分量表述的內(nèi)積的具體公式了. 給定矢量和如下:

由內(nèi)積滿足的公理我們可以得到

要想更進(jìn)一步, 我們就必須知道基矢之間的內(nèi)積. 這就取決于基矢的具體細(xì)節(jié), 而我們唯一能夠確定的就是它們是線性無關(guān)的. 此情況對(duì)箭頭也是成立的. 考察這樣一個(gè)二維問題: 基矢是兩個(gè)線性無關(guān)且彼此不垂直的箭頭. 如果我們將所有箭頭用這一組基表示, 那么它們之中的任意兩個(gè)箭頭的點(diǎn)積就是一個(gè)雙重求和, 其展開后有四項(xiàng)(由基矢之間的四個(gè)可能的點(diǎn)積確定), 這正如所述. 然而, 如果我們使用的是像和這樣的正交歸一基, 則只有像這樣的對(duì)角項(xiàng)幸存, 從而我們就得到了那個(gè)熟悉的結(jié)果: , 它只和分量有關(guān).

?對(duì)于一般的非箭頭情形, 我們調(diào)用定理3.

定理3(Gram-Schmidt正交化定理): 給定一組線性無關(guān)基, 我們可以由它們的線性組合得到一組正交歸一基.

?我們暫且將證明擱置一邊, 現(xiàn)在先假定具體的正交化方案已經(jīng)實(shí)現(xiàn), 從而當(dāng)前的基矢是正交歸一的:

這里稱作Kronecker delta符號(hào)(Kronecker delta symbol). 將其代入, 由于Kronecker符號(hào)的特性, 我們看到雙重求和坍縮到了單個(gè)求和:

從現(xiàn)在開始, 這就是我們將會(huì)使用的內(nèi)積形式.

?現(xiàn)在你可以理解第一條公理了: 如果不是對(duì)第一個(gè)因子分量取復(fù)共軛, 甚至都不會(huì)是實(shí)數(shù), 更別提是正數(shù)了. 但是現(xiàn)在, 它由下式給出:

只有零矢量時(shí)上式可以取到等號(hào). 因此, 將視作是矢量長(zhǎng)度或者范數(shù)的平方是合理的.

?考察, 因?yàn)槭噶吭诮o定一組基后由它的分量唯一確定, 在這組基下我們就可以將其寫成一個(gè)列矢量:

類似地,

現(xiàn)在內(nèi)積就由表示的列矢量的共軛轉(zhuǎn)置(transpose conjugate)與表示的列矢量之矩陣乘積給出(沒有學(xué)過線性代數(shù)的人可能會(huì)被這里的矩陣乘積嚇住, 于是跑去專門學(xué)習(xí)線性代數(shù). 然而只要對(duì)比與, 我們就可以看到矩陣乘積大概是怎么樣的了. —— 譯者注):