再例如色彩表示為 0 到 255 之間的值矩陣，表示每個(gè)像素的每種顏色的亮度?？梢岳镁€性代數(shù)領(lǐng)域的工具和概念來(lái)操作這些向量、矩陣和張量。

(數(shù)學(xué)求解不是討論的重點(diǎn))

Python 求 2D 平面空間的3個(gè)點(diǎn)所決定的三角形三邊之間的角度。矢量分析中的點(diǎn)積將用于計(jì)算3點(diǎn)之間的角度。多個(gè)維度數(shù)據(jù)，如 1D、2D、3D 和更高維度，而不僅僅是 2D。但我用2D數(shù)據(jù)點(diǎn)解釋。

點(diǎn)積，可以用代數(shù)或幾何方式定義。幾何定義基于角度和距離，矢量的大小的概念。這兩個(gè)定義的等價(jià)性依賴(lài)于歐幾里得空間的笛卡爾坐標(biāo)系。

解釋向量vector的加和減：

使用Math庫(kù)的寫(xiě)法不是今天討論的重點(diǎn)。

import math
def getAngle(a, b, c):
    y_ca,x_ca = c[1] - a[1], c[0] - a[0]
    y_ba,x_ba = b[1] - a[1], b[0] - a[0]
    ang = math.degrees(math.atan2(y_ca,x_ca) - math.atan2(y_ba,x_ba))
    return ang + 360 if ang < 0 else ang

a,b,c = (0,0),(4,0),(4,3)
print(getAngle(a, b, c))
36.86989764584402

今天的重點(diǎn)是在??

導(dǎo)入上一篇的任務(wù)鏈接在此??，繼續(xù)深入求解斜拉的兩根繩索與水平呈的角度是多少？

OC = OA + OB #合力

代碼解釋?zhuān)?/span>

圖示的過(guò)程代碼實(shí)現(xiàn)如下：

import numpy as np
# c a = angle
#a,b,c = (0,0,0),(1,0,1),(1,1,1)
a,b,c = list(map(list,(a,b,c)))
a = np.array(a)
b = np.array(b)
c = np.array(c)

# O
ba = b - a
ca = c - a
print(ba,ca) #[ 0 -3] [ 4 -3]
cosine_angle = np.dot(ba, ca) / (np.linalg.norm(ba) * np.linalg.norm(ca))

angle = np.arccos(cosine_angle)

#a,b,c = (0,0),(0,3),(4,0)
print('c與b 的夾角',np.degrees(angle))
c與b 的夾角 36.86989764584401

如何推而廣之？

四個(gè)單價(jià)原子,如氫位于立方體的四個(gè)角A、B、C、D，選擇這些角時(shí)，沒(méi)有兩個(gè)原子位于相鄰的角，

只由一條立方體邊連接。如果立方體的邊長(zhǎng)選擇為2個(gè)單位，那么兩個(gè)鍵OA和OB對(duì)應(yīng)于矢量：

a =  (1，-1，1）和

b =  (1，1，-1)，而鍵角θ是這兩個(gè)矢量之間的角度。

立方體鍵角圖示

應(yīng)用場(chǎng)景-2. 圖論 (Path)

***原題沒(méi)有圖，給出參考：

圖論中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的長(zhǎng)度定義:

路徑長(zhǎng)度是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑長(zhǎng)度,即路徑中的邊數(shù)。這需要用到廣度優(yōu)先搜索或深度優(yōu)先搜索算法來(lái)尋找最短路徑。

以上的證明并不復(fù)雜，大喵將在課堂上分享思路。

第 2 步 數(shù)學(xué)工具

線性代數(shù)中的一個(gè)基本運(yùn)算符。它被稱(chēng)為點(diǎn)積或兩個(gè)向量的內(nèi)積。你們中的大多數(shù)人已經(jīng)熟悉這個(gè)運(yùn)算符，實(shí)際上它很容易解釋。

內(nèi)積還有一個(gè)技巧。內(nèi)積是一個(gè)交換向量運(yùn)算?；旧?，這意味著我們可以在vec{w}上投影vec{v}，在這種情況下，我們將有一個(gè)投影 vec{v}的長(zhǎng)度乘以 vec{w}的長(zhǎng)度，因此我們將獲得相同的結(jié)果。

讓我們進(jìn)一步探討內(nèi)積的交換性質(zhì)。

如果 vec{v} 和 vec{w} 碰巧具有相同的長(zhǎng)度，我們可以利用對(duì)稱(chēng)性。好吧，我們可以看到 vec{w} 到 vec{v}上的投影長(zhǎng)度與投影到 vec{w}上的長(zhǎng)度相同。這樣，很明顯，兩種計(jì)算方法的內(nèi)積是相同的。

線性代數(shù)，對(duì)稱(chēng)線 讓我們回想一下，使用標(biāo)量縮放向量實(shí)際上是縮放其長(zhǎng)度。

因此，我們可以觀察到向量的大小與標(biāo)量縮放的 vec{w} 相同。

現(xiàn)在，我們有一個(gè)標(biāo)量乘以向量 vec{v}，取 vec{w} 的內(nèi)積與將 3 乘以 vec{v} 和 vec{w}相同。這說(shuō)明內(nèi)積確實(shí)是一種交換運(yùn)算。

現(xiàn)在，我們將再次討論線性函數(shù)。但是現(xiàn)在，我們將觀察輸入和輸出維度不同的函數(shù)。例如，我們有一個(gè) 2D 輸入向量，使用函數(shù) L 它將為 1D 輸出向量。

所有這些都可以在這個(gè)例子中澄清。你可以這樣想：如何將二維點(diǎn)投影到一條線上。

我們有一個(gè)從 0 到 hat{u}的向量。

此外，我們還有很多 2D 點(diǎn)。我們感興趣的是這些二維點(diǎn)(向量)將投影在一條線上的什么位置？

換句話說(shuō)，如果我們用基向量表示我們的向量，我們會(huì)得到坐標(biāo)(x, y)

當(dāng)我們將這些坐標(biāo)分別與 u_{x} 和 u_{y} 相乘，然后將這兩個(gè)乘積相加，我們將得到一個(gè)位置，在這個(gè)位置上，我們的原始(x, y)矢量將落在一條由矢量 hat{u} 定義的直線上。這個(gè)位置，將是我們的新坐標(biāo)，對(duì)于一個(gè)一維坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)就是 hat{u}

Dot product 點(diǎn)積

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- 鞏固和復(fù)習(xí)練習(xí)

點(diǎn)積告訴我們實(shí)數(shù)向量有多接近，但正如我們?cè)诒菊轮锌吹降模泻芏嘞蛄靠臻g，我們目前對(duì)點(diǎn)積的定義是沒(méi)有意義的（例如，什么是矩陣的點(diǎn)積？） 為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們擴(kuò)展到實(shí)向量空間的內(nèi)積，它本質(zhì)上是廣義的點(diǎn)積。

內(nèi)積的表示方法是