從零開始學數(shù)據(jù)分析之——《微積分》第六章多元函數(shù)微積分

孫年飛 2023-04-18 發(fā)布于湖南

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6.1 空間解析幾何簡介

6.1.1 空間直角坐標系

6.1.2 空間兩點間的距離

6.1.3 曲面方程

定義6.1.1 若曲面S上任意一點的坐標滿足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x,y,z)=0，則方程F(x,y,z)=0稱為曲面S的方程，而曲面S稱為方程F(x,y,z)=0的圖形。

6.2 多元函數(shù)的基本概念

6.2.1 領(lǐng)域與平面區(qū)域

1.領(lǐng)域

設 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是xOy平面上的一個點， $\delta$ 是一正數(shù)，與點 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的距離小于 $\delta$ 的點 $P\left ( x,y \right )$ 的全體，稱為點 $P_{0}$ 的 $\delta$ 鄰域，記為 $U\left ( P_{0},\delta \right )$ ,即

$U\left ( P_{0},\delta \right )=\left \{ \left ( x,y \right )|\sqrt{\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right )^{2}} \right < \delta \}$

2.平面區(qū)域

6.2.2 二元函數(shù)的概念

1.二元函數(shù)的定義

定義6.2.1 設D是一個非空的二元有序數(shù)組的集合，f為一對應法則。如果對于每一有序數(shù)組 $\left ( x,y \right )\in D$ ，都有唯一確定變量z的值與之對應，則稱這個對應法則f是定義在D上的函數(shù)，或稱變量z是變量x,y的二元函數(shù)，記作

$z=f\left ( x,y \right ) \left ( x,y \right )\in D$

其中x,y稱為自變量，z稱為因變量。集合D稱為函數(shù)的定義域。

2.二元函數(shù)的幾何意義

6.2.3 二元函數(shù)的極限

定義6.2.2 設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 某鄰域內(nèi)有定義（點 $P_{0}$ 可除外），a為常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù) $\varepsilon$ ，總存在一個數(shù) $\delta$ ，使當 $0< \rho =\sqrt{\left ( x-x_{0}\right )^{2} +\left ( y-y_{0} \right )^{2}}< \delta$ 時，恒有

$\left | f\left ( x,y \right )-a \right |< \varepsilon$

成立，則稱當 $\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )$ 時，函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 以a為極限，記作

$\lim_{\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )}f\left ( x,y \right )=a$

為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。

6.2.4 二元函數(shù)的連續(xù)性

定義6.2.3 設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某鄰域內(nèi)有定義，若

$\lim_{\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )}f\left ( x,y \right )=f\left ( x_{0},y_{0} \right )$

則稱函數(shù) f(x,y) 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 連續(xù)，點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 叫做函數(shù) f(x,y) 的連續(xù)點。否則，稱函數(shù) f(x,y)

在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 處間斷，點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 叫做函數(shù) f(x,y) 的間斷點。

函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 處連續(xù)，需滿足以下三個條件：

（1）函數(shù) f(x,y) 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 有定義

（2） $\lim_{\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )}f\left ( x,y \right )$ 存在

（3） $\lim_{\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )}f\left ( x,y \right )=f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ .

二元函數(shù)的性質(zhì)：

（1）有界性若函數(shù) f(x,y) 在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則 f(x,y) 在D上有界

（2）最值性若函數(shù) f(x,y) 在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則 f(x,y) 在D上取得最大值和最小值

（3）界值性若函數(shù) f(x,y) 在有界閉區(qū)域上連續(xù)，m和M分別為函數(shù) f(x,y) 在D上的最小值和最大值，則對介于m和M之間的任一實數(shù)c，至少存在一點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )\in D$ ,使 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )=c.$

6.3 偏導數(shù)

6.3.1 偏導數(shù)

1.偏導數(shù)的定義

設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某鄰域內(nèi)有定義，當x從 $x_{0}$ 取得改變量 $\Delta x\left ( \Delta x\neq 0 \right ),$ 而 $y=y_{0}$ 保持不變時，函數(shù)z的改變量

$\Delta _{x}z=f\left ( x_{0}+\Delta x,y_{0} \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )$

稱為函數(shù) f(x,y) 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 對于x的偏改變量或偏增量。

定義6.3.1 設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta _{x}z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+\Delta x,y_{0} \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )}{\Delta x}$

存在，則稱此極限值為函數(shù) f(x,y) 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 處對于x的偏導數(shù)，記作

2.偏導數(shù)的幾何意義

設 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ 為曲面 $z=f\left ( x,y \right )$ 上一點，過 $P_{0}$ 作平面 $y=y_{0}$ ，它與曲面的交線是 $y=y_{0}$

平面上的曲線 $z=f\left ( x,y_{0} \right )$ ,則偏導數(shù)就是一元函數(shù) $f\left ( x,y_{0} \right )$ 在 $x=x_{0}$ 處的導數(shù)，因而，就表示曲線 $z=f\left ( x,y_{0} \right )$ 在點 $P_{0}$ 處的切線 $T_{x}$ 對x軸的斜率。同樣，偏導數(shù)表示曲面被平面 $x=x_{0}$ 所截得到的曲線 $z=f\left ( x_{0},y \right )$ 在點 $P_{0}$ 處的切線 $T_{y}$ 對y軸的斜率。

6.3.2 高階偏導數(shù)

設二元函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在區(qū)域D內(nèi)具有偏導數(shù)如果這兩個函數(shù)對x和y的偏導數(shù)也存在，則稱這些偏導數(shù)為函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 的二階偏導數(shù)。按照函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 對變量求導次序不同，共有以下四種不同的二階偏導數(shù)：

$\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}=z$

$\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}=z$

$\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}=z$

$\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}=z$

其中， $\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}$ 與 $\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}$ 稱為二階混合偏導數(shù)。

類似地，可以定義三階，四階，······以及n階偏導數(shù)。二階以及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)。

定理6.3.1 如果函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 的兩個二階混合偏導數(shù) $\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}$ 及 $\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}$ 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)

$\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}$

6.4 全微分

設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 某鄰域內(nèi)有定義， $\Delta x,\Delta y$ 為自變量x,y在 $x_{0},y_{0}$ 分別取得改變量，稱

$f\left ( x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )$

為函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 相應自變量改變量 $\Delta x,\Delta y$ 的全增量，記作 $\Delta z$ 。

定義6.4.1 設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 的某鄰域內(nèi)有定義，若自變量在點 $\left ( x,y \right )$ 處產(chǎn)生改變量 $\Delta x,\Delta y$ ，而函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 相應的全增量

$\Delta z=f\left ( x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y \right )-f\left ( x,y \right )$

可以表示為

$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o\left ( \rho \right )$

其中，A，B是x,y的函數(shù)，與 $\Delta x,\Delta y$ 無關(guān)， $\rho =\sqrt{\left ( \Delta x \right )^{2}+\left ( \Delta y \right )^{2}}$ ，則稱函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 處可微，而 $A\Delta x+B\Delta y$ 稱為函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 處的全微分，記作或 $df\left ( x,y \right )$ ，即

$dz=A\Delta x+B\Delta y$

當函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時，稱 $z=f\left ( x,y \right )$ 為D內(nèi)可微函數(shù)。

定理6.4.1 （可微的必要條件）若函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 處可微，則函數(shù)在點 $\left ( x,y \right )$ 的偏導數(shù)存在，且函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 處的全微分為

dz=f

定理6.4.2 （可微的充分條件）若函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，則函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 處可微，且

dz=f

設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 處的偏導數(shù)存在，則當y保持不變，一元函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 在x點的微分稱為函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 處關(guān)于x的偏積分，記作 $d_{x}z$ ,即

$d_{x}z=f$

當x保持不變，一元函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 在y點的微分稱為函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x,y \right )$ 處關(guān)于y的偏積分，記作 $d_{y}z$ ,即

$d_{y}z=f$

于是，

$dz=d_{x}z+d_{y}z$

即二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和。這一結(jié)果稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)。

6.5 多元復合函數(shù)求導法則和隱函數(shù)求導公式

6.5.1 多元復合函數(shù)的求導法則

6.5.2 隱函數(shù)的求導公式

定理6.5.2（隱函數(shù)存在定理）設函數(shù) $F\left ( x,y \right )$ 在點 $\left (x_{0},y_{0} \right )$ 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，且 $F\left ( x_{0},y_{0} \right ),F$ ，則方程 $F\left ( x,y \right )=0$ 在點 $\left (x_{0},y_{0} \right )$ 的某一鄰域內(nèi)總能唯一確定一個連續(xù)且有連續(xù)導數(shù)的函數(shù) $y=f\left ( x \right )$ ，使得 $y_{0}=f\left ( x_{0} \right )$ ，并且

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$ 或 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}$

定理6.5.3 設函數(shù) $F\left ( x,y,z \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且 $F\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )=0,F$ ，則方程 $F\left ( x,y,z \right )=0$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ 的某一鄰域內(nèi)總能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ ，使得 $z_{0}=f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ ，并且有

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F$

定理6.5.4 設 $F\left ( x,y,u,v \right ),G\left ( x,y,u,v \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )$ 的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，又 $F\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )=0,G\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )=0$ ，且偏導數(shù)所組成的雅可比行列式

$J=\frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( u,v \right )}=\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}$

在點 $\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )$ 不等于零，則方程組

$\left\{\begin{matrix} F\left ( x,y,u,v \right )=0\\ G\left ( x,y,u,v \right )=0 \end{matrix}\right.$

在點 $\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )$ 的某一鄰域內(nèi)總能唯一確定一組連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù) u=u(x,y),v=v(x,y) ,它們滿足條件 $u_{0}=u\left ( x_{0},y_{0} \right ),v_{0}=v\left ( x_{0},y_{0} \right )$ ,且有

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\cdot \frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( x,v \right )}=-\frac{\begin{vmatrix} F$

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\cdot \frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( u,x \right )}=-\frac{\begin{vmatrix} F$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\cdot \frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( y,v \right )}=-\frac{\begin{vmatrix} F$

$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\cdot \frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( u,y \right )}=-\frac{\begin{vmatrix} F$

6.6 二元函數(shù)的極值

6.6.1 二元函數(shù)的極值

定義6.6.1 設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某鄰域 $U\left ( P_{0} \right )$ 內(nèi)有定義，若對于 $\bigcup_{}^{o}\left ( P_{0} \right )$ 內(nèi)的任一點 $\left (x,y \right )$ ,都有

$f\left ( x_{0},y_{0} \right )>f\left ( x,y \right )$ 或 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )<f\left ( x,y \right )$

則稱函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 處取得極大值（或極小值） $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ ，點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 稱為函數(shù) $f\left ( x,y \right )$

的極大值點（或極小值點）。

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。

定理6.6.1（極值存在的必要條件）設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 處存在偏導數(shù)，且在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 處取得極值，則有

$f_{x}$

定理6.6.2（極值存在的充分條件）設函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)，且 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是其駐點，記

A=f

那么

（1）若 $B^{2}-AC<0,$ 且 A<0 ,則 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是極大值

若 $B^{2}-AC<0,$ 且 A>0, 則 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是極小值

（2）若 $B^{2}-AC>0,$ 則 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 不是極值

（3）若 $B^{2}-AC=0,$ 則 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是不是極值需另行判斷

6.6.2 條件極值與拉格朗日乘法數(shù)

在討論函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 的極值問題時，如果自變量除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，不受其他條件約束，此時的極值稱為無條件極值，簡稱極值。如果自變量在函數(shù)的定義域內(nèi)取值時，還要滿足一定的附加條件——稱為約束條件，這時所求的極值稱為條件極值。

拉格朗日乘數(shù)法

用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在約束條件 $g\left ( x,y \right )=0$ 下的極值的步驟如下：

（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

$L\left ( x,y,\lambda \right )=f\left ( x,y \right )+\lambda g\left ( x,y \right )$

其中，常數(shù) $\lambda$ 稱為拉格朗日乘數(shù)。

（2）求 $L\left ( x,y,\lambda \right )$ 對 x,y 及 $\lambda$ 的一階偏導數(shù)，并令它們等于零，得方程組

$\left\{\begin{matrix} L$

解得 $x=x_{0},y=y_{0}$ ，則點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是函數(shù) $z=f\left ( x,y \right )$ 在條件 $g\left ( x,y \right )=0$ 下的可能極值點。

（3）判斷 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是否是極值點。通常是根據(jù)具體問題的性質(zhì)進行判斷。一般情況下，若已求得了可能的極值點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ ，而實際問題又確定存在極值，那么，點 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 就是極值點。

注：拉格朗日乘數(shù)法還可以推廣到二元以上的函數(shù)以及約束條件多于一個的情形。

以下兩節(jié)內(nèi)容因內(nèi)容中包含很多圖形，為了正確性，故放置原書圖片。

6.7 二重積分的概念與性質(zhì)

6.7.1 二重積分的概念

6.8 二重積分的計算

6.8.1 在直角坐標系下計算二重積分

6.8.2 在極坐標系下計算二重積分

6.8.3 二重積分的換元法

定理6.8.1 設函數(shù) $f\left ( x,y \right )$ 在 xOy 平面的閉區(qū)域上連續(xù)，變換 T:x=x(u,v),y=y(u,v) 將uv平面的閉區(qū)域變?yōu)閤y平面的D，且滿足

（1） x(u,v),y(u,v) 在D'上具有一階連續(xù)偏導數(shù)

（2）在D'上雅可比式 $J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\neq 0$

（3）變換T是D'與D之間的一個一一對應，則

$\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy=\iint_{D}^{}f[x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)|dudv$ (1)

需要指出的是，如果雅可比式 J(u,v) 只在D'內(nèi)個別點上或D'的一條曲線上為零，而在其他點上不為零，那么式（1）仍成立。

在極坐標變換： $x=rcos\theta ,y=rsin\theta$ 下，雅可比式

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta } \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} cos\theta &-rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \end{vmatrix}=r$