(2023深圳中考一模10)如圖在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在以B為圓心的弧AC上，射線DE交AB于點(diǎn)F，連接CE，若CE?DF，則DE=(    )

A.2          B.          C.         D.

解：延長DF交CB延長線于點(diǎn)G，∠CEF=90°，得GC為圓的直徑，故BG=BC=4，DG=4,由射影定理可知DC²=DE?DG,得DE=; 亦可直接用等面積法得CE=勾股定理求DE=.

(2023深圳中考一模15)如圖，等邊三角形ABC邊長為2，點(diǎn)D在BC邊上，且BD<CD,點(diǎn)E在AB邊上且AE=BD，連接AD，CE交于點(diǎn)F，在線段FC上截取FG=FA，連接BG，則線段BG的最小值是______

解：由AE=BD，AB=AC，∠ABD=∠CAE得△ABD≌△CAE，∠BAD=∠ACE，

又∠BAD+∠CAF=60°，故∠ACE+∠CAF=60°，得∠AFG=120°，同時(shí)FA=FG得∠AGF=30°，故∠AGC=150°，而AC=2，故點(diǎn)G的軌跡為圓；圓心為O，∠AOC=60°，半徑為2當(dāng)B、G、O共線時(shí)，BG取最小值，此時(shí)OB=2，故BGmin=2-2

(2023深圳中考一模22)在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)(與A、C不重合),連接BE

(1) 將射線BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交直線AC于點(diǎn)F

①依題意補(bǔ)全圖1

②小深通過觀察、實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)線段AE、FC、EF存在以下數(shù)量關(guān)系：

AF與FC的平方和等于EF的平方，，小空把這個(gè)猜想與同學(xué)進(jìn)行交流，通過討論形成證明該猜想的幾種想法：

想法1：將線段BF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BM，要證AE、FC、EF的關(guān)系，只需證明AE、AM、EM的關(guān)系.

想法2：將△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要證AE、FC、EF的有關(guān)系，只需證EN、FN、EF的關(guān)系；

請你參考上面的想法，用等式表示線段AE、FC、EF的數(shù)量關(guān)系并證明；

(2)如圖2，若將直線BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，交直線AC于點(diǎn)F，若正方形的邊長為2，AE：EC=2：3，求AF的長.