新課改背景下高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)新思考---推薦人：胡陽(yáng)新

湖北省巴東縣第二高級(jí)中學(xué)  譚久平 郵編：444324

所謂數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，是指“學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域或現(xiàn)實(shí)生活的情境中，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、調(diào)查研究、動(dòng)手操作、表達(dá)與交流等探究性活動(dòng)，獲得知識(shí)、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過(guò)程?！彼浴疤骄渴健苯虒W(xué)同時(shí)也完全符合在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，以培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神為重點(diǎn)的當(dāng)代教學(xué)原則。此教學(xué)內(nèi)容的選材依托于課本中的內(nèi)容：“由祖暅原理和圓柱、圓錐體的體積公式可得球體積公式”。盡管教材中未給出該公式的嚴(yán)格推導(dǎo)過(guò)程，但本著“來(lái)源于教材，理由在書(shū)中”的原則，我認(rèn)為這是一個(gè)很好的“探究”切入點(diǎn)，能留給學(xué)生較大的思維創(chuàng)造空間，避免了為“探究”而設(shè)計(jì)的“探究課”，能順應(yīng)新課程發(fā)展的要求。

故我把整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：

利用祖暅原理，知道球體積公式的一種推導(dǎo)方法，并應(yīng)用其求橢球體積；

（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：

通過(guò)對(duì)球體積公式的探求，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，學(xué)會(huì)觀察、類比、歸納、猜想等合理推理方法，培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、抽象、概括等邏輯推理能力；

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過(guò)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)共同探究的教學(xué)活動(dòng)，形成學(xué)生的體驗(yàn)性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的個(gè)性品質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

利用祖暅原理探求球體積公式。

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）

1.復(fù)習(xí)祖暅原理及棱柱、圓柱體體積公式;

約在公元5世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅在研究“開(kāi)立圓術(shù)”中指出“夫疊綦成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”。其意思是：體積可看成是由面積疊加而成，用一組平行平面截兩個(gè)空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等，則兩空間圖形的體積必然相等。這一論述被后人稱為祖暅原理。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教育，使數(shù)學(xué)史中的思想方法為數(shù)學(xué)教育服務(wù)。

用祖暅原理可證明：

兩個(gè)等底等高的棱(圓)柱的體積相等。（圖1）

2.復(fù)習(xí)棱錐、圓錐體體積公式

用祖暅原理可證明：

兩個(gè)等底等高的棱(圓)錐的體積相等。（圖2）

（二）新課導(dǎo)入

1.復(fù)習(xí)球體積公式，直接拋出問(wèn)題：課本中已介紹過(guò)應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)棱錐體積公式的做法。如何根據(jù)課本提示，由祖暅原理和圓柱、圓錐體的體積公式去推導(dǎo)球體積公式？

設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)門見(jiàn)山地告知學(xué)生今天的學(xué)習(xí)任務(wù)，但問(wèn)題較大，學(xué)生的個(gè)體差異會(huì)使部分學(xué)生找不到思考的切入點(diǎn)，故我設(shè)計(jì)將任務(wù)細(xì)化，在教師的指導(dǎo)下讓學(xué)生進(jìn)行探究。

2.將問(wèn)題分解：

（1）選擇的圓柱（錐）體與對(duì)應(yīng)的球之間應(yīng)有那些對(duì)應(yīng)關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：探求圓柱（錐）體的半徑與高和球體半徑的等量關(guān)系，并根據(jù)對(duì)稱性作出選擇研究半個(gè)球的體積公式。

（2）僅選擇圓柱體（或圓錐體）與對(duì)應(yīng)的半球，用平行截面去截，截面之間能否保證祖暅原理中“在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等”的要求？

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的重點(diǎn)是“用祖暅原理為依據(jù)進(jìn)行探求”，所以抓住“用平行截面去截”的關(guān)鍵，探求發(fā)現(xiàn)圓柱體在等高處的截面（除底面外）大于半球體，而圓錐體在等高處的截面（除底面外）小于半球體，大膽猜測(cè)進(jìn)行大小間的“協(xié)調(diào)”。

（3）如何利用割補(bǔ)法探求半球體積公式？（在這個(gè)問(wèn)題的教學(xué)組織上，采用讓學(xué)生分組協(xié)作的合作學(xué)習(xí)方式進(jìn)行）

設(shè)計(jì)意圖：探求圓柱體與圓錐體在等高處的截面進(jìn)行大小間的“協(xié)調(diào)”的過(guò)程，蘊(yùn)涵著猜測(cè)和嘗試的雙過(guò)程，結(jié)論的得出必定是完成了嚴(yán)格的證明。

探求結(jié)果用祖暅原理求球體體積公式的做法是：可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個(gè)幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球體積公式。

說(shuō)明：這里教師設(shè)計(jì)了一個(gè)容易激疑的問(wèn)題情境，給學(xué)生思維以方向和動(dòng)力；三個(gè)由淺入深的問(wèn)題引起學(xué)生深入的思考，并且能促使學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，作出思考，提出猜想，進(jìn)行驗(yàn)證”等探究性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，并教給學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的方法。這樣設(shè)計(jì)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)，是為了更有利于學(xué)生主體性的發(fā)揮。在親歷學(xué)習(xí)過(guò)程的探究活動(dòng)中豐富經(jīng)歷，強(qiáng)調(diào)合作，促進(jìn)了學(xué)生在思維品質(zhì)、人格特征以及解題方法等方面的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，使學(xué)生興趣盎然地投入探究新知的學(xué)習(xí)活動(dòng)中。

3.得出球體積公式

4.反思小結(jié)、提煉數(shù)學(xué)思想：

（1）在該問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們是怎樣入手的？為什么要這樣設(shè)計(jì)？（依據(jù)祖暅原理）

（2）在探求過(guò)程中我們主要運(yùn)用了什么方法？？（割補(bǔ)法）

（3）我們概括出怎樣的一般性的結(jié)論？（球體積公式）

（4）在探究過(guò)程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（嘗試、猜測(cè)、論證）

(三)應(yīng)用

請(qǐng)?jiān)谘芯亢屠斫馇蝮w積公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，解決以下問(wèn)題：

已知橢圓，將此橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的橢球體（圖2），其體積等于______________.

設(shè)計(jì)意圖：本問(wèn)題的提出是球體積公式推導(dǎo)的類比遷移和引申拓廣。在題目設(shè)計(jì)上選擇了具體數(shù)據(jù)（橢圓的長(zhǎng)軸、短軸已知）的橢球，使學(xué)生能經(jīng)過(guò)自己的主動(dòng)探索、實(shí)驗(yàn)，得到結(jié)論，這是對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與精神的激勵(lì)。能使學(xué)生感悟到“面對(duì)新問(wèn)題，聯(lián)想舊知識(shí)，尋找新舊知識(shí)之間的關(guān)系，揭示知識(shí)規(guī)律，獲取新知”的探究方法和策略，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力和信心，使他們更自覺(jué)更主動(dòng)地投入到探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中去。

（四）小結(jié)：

通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，我們利用割補(bǔ)法及祖暅原理得到了球的體積公式，并初步體會(huì)了其應(yīng)用；進(jìn)而收獲了一個(gè)特殊橢球體的體積計(jì)算方法，又一次體會(huì)了聯(lián)想、類比、猜測(cè)、證明等合情推理及邏輯推理的方法在探索新知識(shí)方面的重要作用。

（五）作業(yè)：

請(qǐng)?jiān)谘芯亢屠斫馇蝮w積公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，解答下問(wèn)題：

（1）已知橢圓，將此橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的橢球體，探求其體積。

（2）將此橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的橢球體，探求其體積。

作業(yè)設(shè)計(jì)意圖：本問(wèn)題的提出是繼具體橢球體積計(jì)算后的再次拓廣。在題目設(shè)計(jì)上選擇了更具一般性（橢圓的長(zhǎng)軸、短軸為）的橢球，讓學(xué)生對(duì)課堂上的探究延續(xù)到課后，達(dá)成進(jìn)一步的反饋和鞏固。

（六）課后反思：

實(shí)施數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)方式改革的必由之路。學(xué)生探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)能否順利實(shí)施，關(guān)鍵在于教師能否創(chuàng)造適宜的教學(xué)情境和進(jìn)行合理的引導(dǎo)。在新課程實(shí)施過(guò)程中，教師要運(yùn)用一切可能的手段，不斷優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)設(shè)有效的探究時(shí)間和空間，形成良好的探究風(fēng)氣，讓每個(gè)學(xué)生都有主動(dòng)探究的機(jī)會(huì)和欲望，從而真正實(shí)現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。