歷史上，古希臘數(shù)學家阿基米德最早求出了球的體積及表面積公式。

阿基米德的結(jié)果記錄在他的兩卷著作《論球與圓柱》第一卷中，可以簡單地敘述為：

球與其外切圓柱體的體積之比、表面積之比，都等于三分之二。

據(jù)說阿基米德希望把這一值得驕傲的發(fā)現(xiàn)刻在自己的墓碑上。

本文介紹阿基米德得到球及球冠面積公式的方法，適合中學生閱讀。

(一)直圓臺的側(cè)面積

初中數(shù)學已經(jīng)學過圓錐的側(cè)面積公式。

利用展開圖可知，直圓錐的側(cè)面積等于

其中R是底面圓的半徑， L是母線長。

進一步，容易得到直圓臺的側(cè)面積公式。

圓臺及相關(guān)圓錐的軸截面圖

命題直圓臺的側(cè)面積等于

其中r, R為上下底面圓的半徑，d為母線長。

證明：直圓臺是從一個大的直圓錐，用平行于底面的平面切除一個小的直圓錐得到的。因此，直圓臺的側(cè)面積S等于這兩個直圓錐的側(cè)面積之差。

設(shè)大小圓錐的底面圓半徑分別為R, r母線長分別為L, l 則有L=l+d, 及

由三角形相似，有

因此得到

這就證明了命題。

(二)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

如圖，圓弧AL圍繞直徑AA'旋轉(zhuǎn)，得球冠。

我們的目標是求出這個球冠的面積S

為此，先求出特殊的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

任意 n等分圓弧AL, 設(shè)分點依次為

則有弦長相等關(guān)系式：

對稱地，n等分圓弧AL', 設(shè)分點依次為

折線ABCD…KL圍繞直徑AA'旋轉(zhuǎn)一周，所得曲面的面積記為Sn

引理 這個旋轉(zhuǎn)曲面的面積

證明：所求的面積是一些圓臺(圓錐、圓柱)的側(cè)面積之和。

連LL', 交AA'與M 由上節(jié)的命題，得

由相似三角形序列

得到比例式

由合比定理，得

因此

這就證明了引理。

說法：AL, AM分別稱為球冠的斜邊與高。

(三)球冠的面積

利用窮竭法(古希臘數(shù)學的一種特殊極限理論)，阿基米德嚴格地證明了：

當n->∞， 面積Sn的極限等于 S

用上一節(jié)的記號，當n->∞有B->A

由引理，直接得到

這個結(jié)論可以陳述為

定理1 球冠的面積等于球冠的高、直徑及圓周率的乘積。

定理2 球冠的面積等于以斜邊為半徑的圓面積。

同樣的討論，給出球的面積公式。

定理3 球的面積等于球的大圓面積的四倍。

(四)由球的面積得出體積

熟知，由圓的周長公式可以得出圓的面積公式：

圓的面積等于周長與半徑乘積的一半，即

完全類似地，由球的面積公式可以得出球的體積公式：

球的體積等于表面積與半徑乘積的三分之一，即

利用球的體積公式，也可以得出面積公式。

(五)結(jié)束語

阿基米德利用最基本的數(shù)學知識和極限思想，奇思妙算，求得球冠面積公式，令人嘆為觀止。

按球面幾何來看，球冠是球面幾何的“圓”。

因此，球冠的面積公式可以翻譯成球面幾何的“圓面積公式”：

半徑為 R 的球面上的“半徑”為a 的圓的面積為

把正弦改為雙曲正弦，就得到雙曲幾何的圓面積公式。

阿基米德的名字意為“大思想家”，再恰當不過。

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