高中數(shù)學(xué)丨圓錐曲線六大?？碱}型解題方法經(jīng)典例題

新用戶5711FnQi 2022-12-06 發(fā)布于河南

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王老師說

圓錐曲線一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，今天王老師幫大家整理了高中三年考試的常考題型與解題要點，附經(jīng)典例題和解析，希望能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

圓錐曲線中的中點弦問題
圓錐曲線中的雙切線問題解題技巧
圓錐曲線中選填壓軸之距離問題
圓錐曲線中的壓軸題切線問題
圓錐曲線中的選填壓軸之面積問題
圓錐曲線中的選填壓軸之角度問題

圓錐曲線中的中點弦問題

【方法點撥】

『技巧一』方程： $mx^2+ny^2=1$ ，①當(dāng) $m,n>0$ 且 $m≠n$ 時，表示橢圓；②當(dāng) $m,n>0$ 且 $m=n$ 時，表示圓；③當(dāng) $m,n$ 異號時，表示雙曲線。

點差法：答題規(guī)范模板：

step1：設(shè)直線與曲線：設(shè)直線 $l:y=kx+t$ 與曲線： $mx^2+ny^2=1$ 交于兩點 $A$ 、 $B$ ，中點為 $P(x_0,y_0)$ ，則有 $A$ 、 $B$ 既在直線 $l:y=kx+t$ 上又在曲線 $mx^2+ny^2=1$ 上，設(shè) $A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$

Step2：代入點坐標：即 $\left\{ \begin {array}{rcl} y_1=kx_1+t \\ y_2=kx_2+t \end {array}\right.$ ; ；

Step3：作差得出結(jié)論：（1）-（2）得： (作為公式記住，在小題中直接用。)

【技巧二】拋物線中點弦問題。

『秒殺策略』：拋物線：① $y^2=2px\Rightarrow y_0\cdot k=p$ 。

簡答題步驟規(guī)范模板：

方法一：

①設(shè)直線 $AB$ 的方程；

②直線與曲線聯(lián)立，整理成關(guān)于 $x$ (或 $y$ )的一元二次方程；

③寫出根與系數(shù)的關(guān)系；

④利用 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2},y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$ ，把根與系數(shù)的關(guān)系代入。

方法二：點差法：

step1：設(shè)直線 $l:y=kx+t$ 與曲線： $y^2=2px$ 交于兩點 $A$ 、 $B$ ，中點為 $P(x_0,y_0)$ ，則有 $A,B$ 既在直線上又在曲線上，設(shè) $A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$

Step2：代入點坐標：即 $\left\{ \begin {array}{rcl} y_1=kx_1+t \\ y_2=kx_2+t \end {array}\right.$ ， $\left\{ \begin {array}{rcl} y_1^2=2px_1 \\y_2^2=2px_2 \end {array}\right.$ ；

Step3：作差得出結(jié)論：（1）-（2）得： $y^2=2px\Rightarrow y_0\cdot k=p$ (作為公式記住，在小題中直接用。)

同理可推出其余三類方程的中點弦結(jié)論：

② $y^2=-2px\Rightarrow y_0\cdot k=-p$ 。

③ $x^2=2py\Rightarrow x_0=p\cdot k$ 。

④ $x^2=-2py\Rightarrow x_0=-p\cdot k$ 。

【題型1】：求值，利用結(jié)論求k或斜率乘積定值。

【答案】D

【解析】

【答案】B

【解析】

結(jié)論：平行直線系，過橢圓中心（原點）時弦長最大。

【題型2】：求當(dāng) $k_{AB}$ 為定值時，平行弦中點軌跡。

法一：直線與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出中點坐標的參數(shù)方程，消參數(shù)即得中點弦軌跡方程。

法二：利用點差法得： $k_{AB}\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{m}{n}$ ，即 $y=-\frac{m}{kn}x$ （過原點的直線在曲線內(nèi)部的部分）。

【解析】

【題型3】：求當(dāng)直線 $l$ 恒過一定點 $(e,f)$ 時，得定點弦中點軌跡：利用 $k_{AB}=\frac{y_0-f}{x_0-e}$ 消去 $k_{AB}$ 。

法一：直線與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出中點坐標的參數(shù)方程，消參數(shù)即得中點弦軌跡方程。

法二：利用點差法得： $k_{AB}\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{m}{n}$ ，即 $\frac{y_0-f}{x_0-e}\cdot\frac{y_0}{x_0}=-\frac{m}{n}$ 。

【解析】

【技巧二】拋物線中點弦問題。

『秒殺策略』：拋物線：① $y^2=2px\Rightarrow y_0\cdot k=p$ 。

簡答題步驟規(guī)范模板：

方法一：

①設(shè)直線 $AB$ 的方程；

②直線與曲線聯(lián)立，整理成關(guān)于 $x$ (或 $y$ )的一元二次方程；

③寫出根與系數(shù)的關(guān)系；

④利用 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2},y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$ ，把根與系數(shù)的關(guān)系代入。

方法二：點差法：

step1：設(shè)直線 $l:y=kx+t$ 與曲線： $y^2=2px$ 交于兩點 $A$ 、 $B$ ，中點為 $P(x_0,y_0)$ ，則有 $A,B$ 既在直線上又在曲線上，設(shè) $A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$

Step2：代入點坐標：即 $\left\{ \begin {array}{rcl} y_1=kx_1+t \\ y_2=kx_2+t \end {array}\right.$ ， $\left\{ \begin {array}{rcl} y_1^2=2px_1 \\y_2^2=2px_2 \end {array}\right.$ ；

Step3：作差得出結(jié)論：（1）-（2）得： $y^2=2px\Rightarrow y_0\cdot k=p$ (作為公式記住，在小題中直接用。)

同理可推出其余三類方程的中點弦結(jié)論：

② $y^2=-2px\Rightarrow y_0\cdot k=-p$ 。

③ $x^2=2py\Rightarrow x_0=p\cdot k$ 。

④ $x^2=-2py\Rightarrow x_0=-p\cdot k$ 。

【題型4】：求值(求k或p)。

【答案】 $y=x$

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】2

【解析】

【答案】 $\pm1$

【解析】

圓錐曲線的雙切線問題處理技巧

【方法點撥】

這類試題主要的點在算理，即計算中如何合理的處理雙切線，我總結(jié)如下：已知曲線外一點

A(x_0,y_0)

,向二次曲線

E

引兩條切線

AB,AC

，設(shè)

B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)

第1步：分別寫出切線

AB,AC

的方程（注意斜率）；

第2步：聯(lián)立

AB,AC

與曲線

E

的方程，利用相切條件，得到代數(shù)關(guān)系①，②式，從而以

A(x_0,y_0)

的

x_0

或

y_0

坐標為參數(shù)，進一步構(gòu)造點

B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)

橫或縱坐標滿足的同構(gòu)方程方程③；

第3步：利用方程③根與系數(shù)的關(guān)系判斷

B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)

與曲線的位置關(guān)系，或完成其他問題.

【典例賞析】

（2021甲卷）已知拋物線

C

的頂點為坐標原點

O

，焦點在

x

軸上，直線

l:x=1

交

C

于

P,Q

兩點，且

OP⊥OQ

.已知點

M(2,0)

，且?

M

與

l

相切.

（1）求

C

，?

M

的方程；

（2）設(shè)

A_1,A_2,A_3

是

C

上的三個點，直線

A_1A_2 ,A_1A_3

均與?

M

相切，判斷直線

A_2A_3

與?

M

的位置關(guān)系，并說明理由.

【解析】

（1）設(shè)

C

的方程為

y^2=2px,p>0

，

由對稱性可知，

|OP|=|OQ|

，并假設(shè)點

P

在第一象限，點

Q

在第四象限，

故直線

l:x=1

將代入拋物線方程解得：

y_P=\sqrt{2p},y_Q=-\sqrt{2p}

，

又因為

OP⊥OQ

，故

k_{OP}\cdot k_{OQ}=-1

，即

\frac{y_P}{x_P}\cdot \frac{y_Q}{xQ}=-1

代入點

P,Q

坐標可得：

p=\frac{1}{2}

，

故

C

的方程為

y^2=x

再由直線

l:x=1

與?

M

相切可得?

M

：

(x-2)^2+y^2=1

（2）直線

A_2A_3

與?

M

相切.

理由如下：

假設(shè)直線

A_1A_2 ,A_1A_3

的斜率都存在，設(shè) ，

則可得

A_1A_2

的方程為：，整理可得：

x-(y_0+y_1)y+y_0y_1=0

，

由直線

A_1A_2

與?

M

相切得：

\frac{|2+y_0y_1|}{\sqrt{1+(y_0+y_1)^2}}=1

，整理得： ①

同理：

A_1A_3

的方程為

x-(y_0+y_2)y+y_0y_2=0

，

由

A_1A_3

與?

M

相切，即 ②.

由①，②可知

y_1,y_2

分別是下列方程的兩根， ③.

若

y_0^2-1=0

，代入③式得：

y=\pm1

，

與

A_1,A_2,A_3

是三個不重合的點矛盾，故

y_0^2-1≠0

，

則

y_1+y_2=\frac{-2y_0}{y_0^2-1}

y_1y_2=\frac{3-y_0^2}{y_0^2-1}

④,

最后，由于

A_2A_3

直線的方程為

x-(y_1+y_2)y+y_1y_2=0

，

那么圓心

M

到直線

A_2A_3

的距離為

d=\frac{2+y_1y_2}{\sqrt{1+(y_1+y_2)^2}}

，

代入④式得：

d=\frac{{y_0^2+1}}{\sqrt{({y_0^2+1})^2}}=1

故直線

A_2A_3

與?

M

相切.

當(dāng)直線

A_1A_2 ,A_1A_3

的斜率有一條不存在時，根據(jù)?

M

的位置關(guān)系可知，此時切線要么為

x=1

，要么為

x=3

不妨假設(shè)當(dāng)

A_1A_2

切線為

x=1

時，那么此時切線

A_1A_3

為

y=1

，不合題意.

假設(shè)當(dāng)

A_1A_2

切線為

x=3

時，可取兩點坐標為

A_1(3,\sqrt{3}),A_2(3,-\sqrt{3})

，

設(shè)切線

A_1A_3

的方程為

y-\sqrt{3}=t(x-3)

，其與?

M

相切，故

\frac{|2t+\sqrt{3}-3t|}{\sqrt{1+t^2}}=1

,得

t=\frac{\sqrt{3}}{3}

即此時，切線

A_1A_3

，過坐標原點與?

M

相切，即

A_3(0,0)

這樣：

A_2A_3

的方程為：

y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x

，與

A_1A_3

關(guān)于

x

軸對稱，根據(jù)對稱性可知

A_2A_3

與?

M

相切，綜上所述，直線

A_2A_3

與?

M

相切.

變式1. （2020成都三診）．已知橢圓

C

：

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)

的左焦點

F_1(-\sqrt{3},0)

，點

Q(1,\frac{\sqrt{3}}{2})

在橢圓

C

上.

（1）求橢圓

C

的標準方程；

（2）經(jīng)過圓

O

：

x^2+y^2=5

上一動點

P

作橢圓

C

的兩條切線，切點分別記為

A

，

B

，直線

PA

，

PB

分別與圓

O

相交于異于點

P

的

M

，

N

兩點.

（i）求證：

\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=0

；

（ii）求

△OAB

的面積的取值范圍.

【解析】

（1）∵橢圓

C

的左焦點

F_1(-\sqrt{3},0)

，

∴

c=\sqrt{3}

將

Q(1,\frac{\sqrt{3}}{2})

代入

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

，得

\frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1

又

a^2-b^2=3

，

∴

a^2=4,b^2=1

∴橢圓的標準方程為

\frac{x^2}{4}+y^2=1

（2）（i）設(shè)點

P(x_0,y_0)

①當(dāng)直線

PA

，

PB

的斜率都存在時，

設(shè)過點

P

與橢圓

C

相切的直線方程為

y=k(x-x_0)+y_0

由，消去

y

，

得 .

令

\Delta=0

，整理得 .

設(shè)直線

PA

，

PB

的斜率分別為

k_1,k_2

∴

k_1k_2=\frac{1-y_0^2}{4-x^2}

又

x_0^2+y_0^2=5

，∴ .

∴

PM⊥PN

，即為圓

O

的直徑，

∴

\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=0

②當(dāng)直線

PA

或

PB

的斜率不存在時，

不妨設(shè)

P(2,1)

，則直線

PA

的方程為

x=2

∴

M(2,-1)

，

N(-2,1)

，也滿足

\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=0

綜上，有

\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=0

（ii）設(shè)點

A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)

當(dāng)直線

PA

的斜率存在時，設(shè)直線

PA

的方程為

y=k_1(x-x_1)+y_1

由，消去

y

，

得

令

\Delta=0

，整理得 .

則

∴直線

PA

的方程為

y=-\frac{x_1}{4y_1}(x-x_1)+y_1

化簡可得

x_1x+4y_1y=x_1^2+4y_1^2=4

，即

\frac{xx_1}{4}+yy_1=1

經(jīng)驗證，當(dāng)直線

PA

的斜率不存在時，

直線

PA

的方程為

x=2

或

x=-2

，也滿足

\frac{xx_1}{4}+yy_1=1

同理，可得直線

PB

的方程為

\frac{xx_2}{4}+yy_2=1

∵

P(x_0,y_0)

在直線

PA

，

PB

上，即

\frac{xx_0}{4}+yy_0=1

，

\frac{xx_0}{4}+yy_0=1

∴直線

AB

的方程為

\frac{xx_0}{4}+yy_0=1

由，消去

y

，得 .

∴

x_1+x_2=\frac{8x_0}{3y_0^2+5}

，

x_1x_2=\frac{16-16y_0^2}{3y_0^2+5}

又點

O

到直線

AB

的距離 .

∴ .

令

\sqrt{3y_0^2+1}=t

，

t\in[1,4]

則 .

又

\frac{4}{t}\in[4,5]

，

∴

△OAB

的面積的取值范圍為

[\frac{4}{5},1]

圓錐曲線選填壓軸之距離

【方法點撥】

1.距離的幾何意義：

（1）數(shù)軸上的距離： $|x_1-x_2|,|y_1-y_2|$ （終點減去起點的絕對值）

（2）平面內(nèi)的距離： $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ （構(gòu)造直角三角形證明）

（3）三角形的邊的關(guān)系： $||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$

2.距離的代數(shù)表達：

（1）點到點的距離公式：

（2）點到直接的距離公式： $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ，

（3）兩條平行線的距離公式： $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ .

【基本方法】

1.幾何轉(zhuǎn)化法：充分利用代數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為幾何意義；

2.坐標轉(zhuǎn)化法：充分利用點和線段的坐標化，將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題；

3.構(gòu)造函數(shù)法：恰當(dāng)引入?yún)?shù)，建立函數(shù)關(guān)系，求解與距離相關(guān)的最值問題.

【典例賞析】

類型一直接利用距離轉(zhuǎn)化

【答案】A

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】A

【解析】

類型二將距離問題轉(zhuǎn)化坐標運算

【答案】D

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】C

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】B

【解析】

三．利用距離的幾何意義求解

【答案】A

【解析】

【答案】D

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】A

【解析】

【答案】B

【解析】

法一：

法二：

【答案】B

【解析】

圓錐曲線壓軸題之切線問題

綜述

圓錐曲線的切線問題有兩種處理方法：

方法1：導(dǎo)數(shù)法，將圓錐曲線方程化為函數(shù)

y=f(x)

，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)

y=f(x)

在點

(x_0,y_0)

處的切線方程，特別是焦點在

y

軸上常用此法求切線；

方法2：根據(jù)題中條件設(shè)出切線方程，將切線方程代入圓錐切線方程，化為關(guān)于（或y）的一元二次方程，利用切線與圓錐曲線相切的充要條件為判別式

△=0

，即可解出切線方程，注意關(guān)于

x

（或y）的一元二次方程的二次項系數(shù)不為0這一條件，圓錐曲線的切線問題要根據(jù)曲線不同，選擇不同的方法

與切線有有關(guān)的結(jié)論：

1.橢圓的切線方程：橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 上一點 $P(x_0,y_0)$ 處的切線方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 外一點 $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

2.雙曲線的切線方程：雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 上一點 $P(x_0,y_0)$ 處的切線方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 外一點 $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

3.拋物線的切線方程：拋物線 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 上一點處的切線方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ ；拋物線 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 外一點 $P(x_0,y_0)$ 所引兩條切線的切點弦方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ .

4.設(shè)拋物線 $C$ $y^2=2px\ \ (p>0)$ 的焦點為 $F$ ，若過點 $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與拋物線 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

5.設(shè)橢圓 $C$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 的焦點為 $F$ ，若過點 $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與橢圓 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

6.設(shè)雙曲線 $C$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 的焦點為 $F$ ，若過點 $P$ 的直線 $PA,PB$ 分別與雙曲線 $C$ 相切于 $A,B$ 兩點，則 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

【典例賞析】

（一）與圓有關(guān)的切線問題

【解析】