平面直角坐標(biāo)系的來歷：

有一天法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾臥病在床。盡管病情很重，但他還在反復(fù)思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數(shù)方程結(jié)合起來？要想達到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組數(shù)掛上鉤，怎樣才能把點和數(shù)聯(lián)系起來呢？突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的表演使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，蜘蛛的位置可以確定，如果把地面上的墻角作為起點，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點的位置就可以用這三根數(shù)軸上找到有順序的三個數(shù)。同樣道理，用一組數(shù)（x，y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組有序?qū)崝?shù)對來表示，這就是坐標(biāo)系的雛形。

首先要清楚平面直角坐標(biāo)系的定義：

平面中相互垂直的兩個數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系。

一般的我們認(rèn)為兩條數(shù)軸的原點是重合的，兩條數(shù)軸的正方向是向上和向右的，兩條數(shù)軸的單位長度是相同的。（其實這些都因研究問題的不同而不同）

定義了直角坐標(biāo)系之后就將平面分成了四個部分，這就是四個象限：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（注意：平面直角坐標(biāo)系將平面分成四個象限，但是四個象限并不能組成一個完整的平面?。?/span>

我們需要掌握給定點的位置確定點的坐標(biāo)；以及給定坐標(biāo)確定點所在的位置（象限）。

比如：已知平面直角坐標(biāo)系中，點P（m-2,-m+3）在第二象限，則的取值范圍是______．

解答：

由題意可知：∵點P（m-2,-m+3）在第二象限

∴m-2＜0，-m+3＞0

解得：m＜2

通過對點的位置和點的坐標(biāo)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)能意識到坐標(biāo)和線段之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，比如橫坐標(biāo)就跟橫著的線段有關(guān)，縱坐標(biāo)就跟豎著的線段有關(guān)。

下面我們就深入了解一下點的坐標(biāo)和線段長之間的聯(lián)系。

①與x軸平行的直線上的點的坐標(biāo)特點：

與x軸平行的直線上的點縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)不同。

并且CD=較大的橫坐標(biāo)-較小的橫坐標(biāo)

②與y軸平行的直線上的點的坐標(biāo)特點：

與y軸平行的直線上的點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同。

并且GH=較大的縱坐標(biāo)-較小的縱坐標(biāo)

③兩點間距離公式：

這個就是高中的兩點間距離公式，按照要求初中不需要掌握，所以我建議學(xué)生理解根本，其實就是勾股定理。我們做題的時候要給出這個直角三角形勾股定理來求解。

上面的三個方面都是建立在已知點的坐標(biāo)基礎(chǔ)上求線段長，直角坐標(biāo)系的好處是建立線段長和坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，所以很多時候我們還需要利用線段長來求坐標(biāo)。

例題一：若直線AB∥x軸，A（2,1）且線段AB=2，則點的坐標(biāo)是______。

如圖所示，利用上述線段長的求法，設(shè)點B（x，1），

由題意可知：|x-2|=2

解得：x=4，x=0

點B的坐標(biāo)為（4，1）或（0，1）。

反思：

做這類題目的時候關(guān)鍵要畫圖，要通過線段長來體現(xiàn)坐標(biāo)，更重要的是由線段長求坐標(biāo)有時需要討論。線段平行于y軸的例子我就不再舉了。特別強調(diào)的是：例題一是我們解決這一章所有問題的基礎(chǔ)，就是所有的問題都必須轉(zhuǎn)化為橫著和豎著的線段來求解。

例題二：

如圖，在直角坐標(biāo)系中，AD=8，OD=OB，平行四邊形ABCD的面積為24，求其4個頂點的坐標(biāo)。

分析：

求點的坐標(biāo)就是求對應(yīng)的橫、豎線段的長，然后考慮象限確定符號。

反思：

求點C的坐標(biāo)的時候也可以像下圖這樣作輔助線，利用△ABO≌△DCH來求解。

例題三：

在直角坐標(biāo)系中有點A（3，2）、B（4，0），試在坐標(biāo)系中找一個點C，使得以點O、A、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形。

分析：

利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形我們可以畫出符合條件的點有三個。

反思：

前面兩個點雖說有同學(xué)可以直接看出，但是我們要清楚解決的方法其實就是例題一的做法。第三個點我們也可以通過證明△AON≌△BCM來求解。

例題四：

在直角坐標(biāo)系中有點A（3，2）、B（1，-2）、C（-1，1），試在坐標(biāo)系中找一個點D，使得以點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形。

分析：

利用剛才的分析方式可以迅速的畫出三個點，不過這三個點的坐標(biāo)都不是那么容易求出，我們需要僅僅抓住解題的基礎(chǔ)：使用橫著和豎著的線段來解決問題。我們以D1為例來說明如何求解。點D1靠近C點，所以我們要構(gòu)造以CD1為一邊的直角三角形來求解。如下圖所示：

反思：

點D1也靠近A點，我們以可以利用A點構(gòu)造含有線段AD的三角形與含有BC的三角形全等來解決。其他兩種情況我們也可以利用相同的方式來解決。

例題五：

如圖，直角坐標(biāo)系中的線段AB，點P是AB的中點，試用點A、B的坐標(biāo)表示點P的坐標(biāo)。

分析：

通過之前幾何中對于中點的處理方式，我們可以利用中點構(gòu)造全等來處理，如下圖所示，我們可以構(gòu)造△APM≌△BPN就可以解決。

反思：

了解了中點坐標(biāo)的公式，其實我們也可以通過中點公式來求解平行四邊形的第四個點坐標(biāo)，有興趣的同學(xué)可以試一下。