(一)一元多項式的帶余式的除法

類似于整數(shù)的帶余數(shù)除法，一元多項式也有帶余式的除法。

為此，需要知道一元多項式的次數(shù)。

非零的一元多項式的次數(shù)，定義為具有非零系數(shù)的最高次冪的次數(shù)。

特別地，非零常數(shù)作為一元多項式，次數(shù)等于

注意：常數(shù) 作為一元多項式，次數(shù)規(guī)定為 這樣規(guī)定是為了保證兩個多項式的乘積多項式的次數(shù)等于各自次數(shù)的和。

命題(帶余式的除法)設(shè) 都是關(guān)于 的一元多項式，其中 的次數(shù)大于 則有唯一的多項式 及唯一的多項式 其中 的次數(shù)小于 的次數(shù)，使得如下等式成立：

這里的 稱為 除以 的商式，而 稱為余式。

證明：通過一元多項式的長除法，可以計算出 除以 的商式 及余式 從而給出命題的證明。

(二)一元多項式的長除法

我們通過下面的例子來解釋什么是長除法。

例2.1計算 除以 的商式及余式。

解：首先，商式的最高次項等于

商式的最高次項與除式的乘積等于

被除式減去這個乘積，得到第一個差式

第一個差式繼續(xù)除以除式，得到商式的次高次項

商式的次高次項與除式的乘積等于

第一個差式減去這個乘積，得到第二個差式

其次數(shù)小于除式的次數(shù)，就是所求的余式。

所求的商式為 除法到此結(jié)束，給出等式

注：以上的除法過程稱為長除法，圖示如下：

可以看出，一元多項式的長除法的運算過程甚至比整數(shù)的帶余數(shù)除法的過程簡單。

長除法沒有出現(xiàn)在現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課本中，實在是一個遺憾。

(三)余式定理與因式定理

作為一元多項式的帶余式除法的簡單情形，除以一次多項式的余式為常數(shù)。

余式定理是說，關(guān)于 的多項式除以一次多項式 的余數(shù)恰好等于被除式在 的值。

余式定理多項式 除以 的余數(shù)等于

證明：根據(jù)一元多項式的帶余式的除法，有多項式 及常數(shù) 使得如下等式成立：

在 取值，得到

這就證明了余式定理。

根據(jù)余式定理，如果 是多項式 的根，即 那么有因式分解式

因式定理如果 是多項式 的根，那么 是 的因式。

證明：根據(jù)余式定理，有多項式 使得

這就證明了因式定理。

(四)利用因式定理作因式分解

為了利用因式定理來實現(xiàn)因式分解，需要找到一元多項式的一個根。

如果需要，兩個變元的多項式，也可以人為地看成某一個變元的一元多項式。

在以下例子中，我們說明怎樣通過因式定理法做因式分解，得出常用的平方差及立方差公式。

例4.1作為 的多項式， 有根

利用長除法，得到 除以 的商式為

從而有因式分解公式：

例4.2作為 的多項式， 有根

利用長除法，得到 除以 的商式為

從而有因式分解公式：

例4.3作為 的多項式， 有根

利用長除法，得到 除以 的商式為

從而有因式分解公式：

例4.4一般的情況，根據(jù)長除法運算，得到因式分解公式：

(五)把二元多項式看作一元多項式

本節(jié)通過一個特殊例子來說明，有時把關(guān)于 的二元多項式看成關(guān)于 的一元多項式，進(jìn)行整理，就可以完成因式分解。

例5.1對下面的多項式作因式分解：

解：按 進(jìn)行整理，做乘法展開，得

這就完成了因式分解。

(六)結(jié)束語

可以看出，在很多情形，因式定理法是因式分解的有效方法。

掌握這樣的根本方法對于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中取得進(jìn)步非常重要。