本題選自2022年廣州中考數(shù)學壓軸題，以菱形為背景，考查面積的最值與線段和的最值。題目較為綜合，但難度不大。

【題目】

（2022·廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．

（1）求BD的長；

（2）點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=√3DF．

①當CE⊥AB時，求四邊形ABEF的面積；

②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+√3CF的值是否也最??？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，請說明理由．

【分析】

（1）菱形ABCD的一個內角為120°，那么就可以得到它的兩個鄰角都是60°，連接短的對角線，可以把菱形分割成兩個等邊三角形。

如下圖所示，所有的線段都相等，所有的銳角都相等，所以比較特殊。

已知菱形的邊長求對角線，比較簡單。

根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)等，可以得到BD=6√3。

本題中還有一個特殊的三角形，也就是頂角為120°的等腰三角形。

可以得到BD=√3AB=√AD，底邊是腰的√3倍。常常構造這樣的圖形，得到√3倍。

（2）題目已知條件BE=√3DF，比較特殊。

先畫出BE，如果過點E作AD的平行線，就可以得到一個含120°的等腰三角形，那么腰就和DF相等了。

那么只需要使得DF=BG即可。

①當CE⊥AB時，求四邊形ABEF的面積，只需畫出圖形，在求出線段長即可。

發(fā)現(xiàn)四邊形ABEF并不規(guī)則，不好直接求，可以考慮割補法。

通過觀察發(fā)現(xiàn)，連接AE，可以得到EA⊥AF，那么就比較好求了。

那么可以得到四邊形ABEF的面積為

S=S△AEF+S△ABE

  =4√3+3√3

  =7√3。

②題目問當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+√3CF的值是否也最小。

那么就需要確定四邊形ABEF面積的最小值與，CE+√3CF的最小值。

因為四邊形的形狀不規(guī)則，因此需要進行適當?shù)母钛a。

如圖，設DF=x，過點E分別作AB、AD的垂線，垂足分別為M、N。

那么就可以把四邊形ABEF分為兩個三角形。

易得BE=√3x，DE=√3（6-x）。

則EM=√3x/2，EN=√3（6-x）/2。

且AF=（6-x），AB=6，那么四邊形的面積就表示出來了。

四邊形ABEF的面積

S=S△ABE+S△AFE

  =3√3x/2+√3（6-x）2/4

  =√3/4(x-3)2+27√3/4

則x=3，即F為AD的中點時，四邊形ABEF的面積最小。

當F為AD的中點時，CF⊥AD，此時CF最小，

同時，可以得到點BE=3√3，

此時E為BD的中點，那么也可以得到CE⊥BD，

所以可以得到CE此時最小。

那么可以得到當四邊形ABEF的面積最小時，CE+√3CF的值也最小，

最小值為3+√3×3√3=12。

如上面的動圖演示，綠色的圖象表示四邊形的面積，紅色的表示CE+√3CF的值。

當然，也可以直接通過作圖構造CE+√3CF。如下圖，連接CA并延長至點P，使得AP=AB，連接PE。

那么可以得到△CDF∽△PBE，此時相似比為1：√3，

那么就可以得到PE=√3CF。

當點C、E、P三點共線時，CE+√3CF最小，最小值為CP的長，也就是2AB的長，為12。

還可以適當變形下，CE+√3CF=√3(√3/CE/3+CF)，

所以也可以在CF的旁邊構造√3/CE/3，

當√3/CE/3+CF最小時，CE+√3CF最小。

如圖，過點D作DQ⊥CD，使得DQ=√3BC/3。

那么就可以得到△DFQ∽△BEC，相似比為1：√3。

那么就可以得到QF=√3BE/3。

也就是當QF+CF最小時，√3/CE/3+CF最小。

此時Q、F、C三點共線，也就是CQ的長，為4√3。

那么本題和之前出現(xiàn)的甘肅的題目有點類似。

【總結】

求面積最值，一般考慮把面積表示出來，用二次函數(shù)或者配方法求最值。

而求線段和的最值問題，一般考慮用幾何方法，利用“垂線段最短”或者“兩點之間，線段最短”進行判斷。