新高考2卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題：

重點說第2問——恒成立問題.

必存在看著高大上，但容易扣分

第2問也屬于大家熟悉的“端點效應(yīng)”問題.

下面是我在網(wǎng)上找到的還算靠譜的答案，比那些lim的答案強太多了.

這個不難理解.

因為函數(shù)是連續(xù)的，不可能從正值直接蹦到負(fù)值，所以左右兩側(cè)也是正值.

但是涉及到函數(shù)的連續(xù)性，有超綱嫌疑.各地、各年判卷松緊不一，可能會扣分.

如何用初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容來說理呢？

有兩個搞法.

搞法1：多次求導(dǎo)，化為一次

我在專欄《導(dǎo)數(shù)綜合要你命》的最后結(jié)語里講到：導(dǎo)數(shù)的核心能力是分類討論.

誰搞透了分類討論，誰就擁有了化繁為簡、條分縷析的能力.

到了紅筆部分，就是純粹的一次討論了.

這里考驗的就是討論的硬功夫.

搞法2：改變形式，一次減指數(shù)

這里導(dǎo)函數(shù)形式的優(yōu)化是關(guān)鍵.

比較困難的是a∈（0.5,1）這一段的說理.

臨界位置：0.5和1是如何找到的？

根據(jù)端點效應(yīng)的模型，端點處的導(dǎo)函數(shù)值不為零，是第一個討論的位置.

本題f(0)=0,f'(0)=0,但是h'(0)=2a-1,所以0.5是臨界位置.

那么,1是如何找到的呢？

是根據(jù)f'(x),即h(x)的結(jié)構(gòu)確定的.

h(x)的結(jié)構(gòu)是一次函數(shù)減去指數(shù)函數(shù).

如果指數(shù)函數(shù)為正指數(shù)冪，長期來看，它一定會超過一次函數(shù).

因此1成為了臨界位置.

切入點：原還是導(dǎo)？

你可以看到，解決這類恒成立問題主要有兩招：

一是正面來論證，說明條件充分.

二是反面找矛盾，說明條件必要.找到矛盾點、或者矛盾區(qū)間均可.通常在導(dǎo)函數(shù)中找矛盾區(qū)間，在原函數(shù)中找矛盾點.

而切入點其實有多個選擇：原函數(shù)，一階導(dǎo)，二階導(dǎo)，多階導(dǎo)？

比如解法1正面論證時，第3）步從導(dǎo)函數(shù)切入，第4）步從原函數(shù)切入.

比如解法2，正面論證時，直接從原函數(shù)切入；反面找矛盾時，a≥1時在原函數(shù)中找矛盾點，0.5<a<1時在導(dǎo)函數(shù)中找矛盾區(qū)間.

也就是說，正面說理和反面找矛盾都有多種選擇，這樣做排列組合的話，一道題的解法就會千姿百態(tài).

當(dāng)然各種解法會有優(yōu)劣之分，根據(jù)題目條件的不同，這就要求我們臨場時要靈活選用.

前提是要有這個意識——原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)都可能是好的切入點，而不是僅僅盯著某一個，可以搭配使用.

一種瞞天過海的解法：錯在哪里？

說明必要性時，在網(wǎng)上我看到下面這樣一種解法.

無意詆毀同行，老左也經(jīng)常犯錯誤，只作為教學(xué)探討.

這個取點的漏洞在哪里？歡迎留言，我們一起進步.