【絕對值的性質(zhì)】

1. 非負性

|a|≥0；若|a|+|b|+|c|=0，則a=b=c=0；若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0.

2. 雙解性

若|a|=|b|，則a-b=0或a+b=0；

若|x-a|=b，則x=a+b或x=a-b.

3. 可分性

|ab|=|a||b|；|a/b|=|a|/|b|(b≠0).

絕對值實為距離，乘除運算可分離。

4. 多變性

|a|=|-a|=√a2=√(-a)2；

|a-b|=|b-a|=√(a-b)2=√(b-a)2；

|a2|=|a|2=|-a2|=a2.

5. 不等性

若|x|＜a(a＞0)，則-a＜x＜a；

若|x|＞a(a＞0)，則x＞a或x＜-a；

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(三角不等式)；

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(三角不等式).

6. 符號性

【例題剖析】

(1) |x+1|的最小值為____.

(2) |x+1|+|x-2|的最小值為____.

(3) |x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值為____.

(4) 2|x+1|+|x-2|的最小值為____.

(5) |x+1|+2|x-2|的最小值為____.

(6) 1.5|x+1|+2.5|x-2|的最小值為____.

(7) 2.5|x+1|+1.5|x-2|的最小值為____.

(8) |x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值為____.

(9) 2|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值為____.

【題目解析】

(1) 當x+1=0，即x=-1時，|x+1|取得最小值0；

(2) 當-1≤x≤2時，|x+1|+|x-2|取得最小值3；

(3) 當x=2時，|x+1|+|x-2|+|x-3|取得最小值4；

(4) 2|x+1|+|x-2|=|x+1|+|x+1|+|x-2|，

當x=-1時，2|x+1|+|x-2|取得最小值3；

(5) |x+1|+2|x-2|=|x+1|+|x-2|+|x-2|，

當x=2時，|x+1|+2|x-2|取得最小值3；

(8) 當2≤x≤3時，

|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值6.

(9)因為 2|x+1|+|x-2|+|x-3|

=|x+1|+|x+1|+|x-2|+|x-3|，

所以當-1≤x≤2時，

|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值7.

【實戰(zhàn)演練】

(1) |x+1|+|2x+4|的最小值為____；

(2) |2x+1|+|3x-6|的最小值為____；

(3) 若|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則a的值為____;

(4) 若|x+1|+|2x+a|≥3，則a的取值范圍是____；

(5) 若|2x+1|+|ax-6|的最小值為4，則a的值為____.

【題目解析】

The  End, Byebye!