在解決圓錐曲線（圓，雙曲線和橢圓等）的問題時，經(jīng)常需要設(shè)曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)。通常都會設(shè)橫坐標(biāo)，這個時候，如果要用圓錐曲線的方程表示縱坐標(biāo)，就會很麻煩。

比如設(shè)圓x^2+y^2=1上的一點(diǎn)(x,正負(fù)根號(1-x^2))，還要根據(jù)點(diǎn)所在的象限，區(qū)分縱坐標(biāo)的符號性質(zhì)。如果是雙曲線或橢圓上的點(diǎn)，就更加麻煩了。當(dāng)然，我們也是可以設(shè)法避開這種設(shè)法的。比如，把點(diǎn)設(shè)在某一條直線上的方法，這需要這點(diǎn)是直線與曲線的交點(diǎn)才行。雖然如果，仍有一些避無可避的情況。這時候，我們可以選擇另一種設(shè)點(diǎn)的方法，就是用圓錐曲線的參數(shù)方程來設(shè)這個點(diǎn)，這樣做有可能得到意想不到的好效果。使接下來的運(yùn)算變得比較簡便。

比如在圓x^2+y^2=r^2上，就設(shè)點(diǎn)(rcost, rsint). 在橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上, 就設(shè)點(diǎn)(acost, bsint). 在雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上，則可以設(shè)點(diǎn)(asect, btant)，當(dāng)然如果你夠大膽的話，也可以設(shè)成點(diǎn)(acost, bisint)，縱坐標(biāo)設(shè)成了虛數(shù)的形式試一試。

如果沒有實例，一切都只是紙上談兵。下面老黃就以2022年高考數(shù)學(xué)理科全國甲卷的一道真題為例，給大家演示一下這種方法是怎么使用的。

橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)Ｐ, Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱. 若直線AP, AQ的斜率之積為1/4, 則C的離心率為：

A. 根號3 /2； B. 根號2 /2； C. 1/2； D. 1/3

分析：題目本身是沒有圖的，如果理解上有困難，就要畫一個草圖幫助理解，如下圖：

以往老黃都是先求出答案，再畫圖幫助大家理解的，所以以往畫的圖形，基本上都是準(zhǔn)確的。但這道題的圖是真的草圖，不準(zhǔn)確的哦。

顯然，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-a,0), F點(diǎn)的坐標(biāo)是(-c,0). 我們可以設(shè)P(acost, bsint). 而Q點(diǎn)與P點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，所以橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)相等，即Q(-asint, bsint). 這就避開了那種麻煩的(x,y)設(shè)法了。當(dāng)然，如果你有其它好的方法， 也是可以使用的。

有了這四個點(diǎn)的坐標(biāo)，我們就可以表示出AP和AQ的斜率。利用直線斜率的兩點(diǎn)坐標(biāo)公式，有AP的斜率為：bsint/(acost+a), AQ的斜率為：bsint/(-acost+a). 依題意，它們的乘積等于1/4. 所以b^2(sint)^2/(a^2(1-(cost)^2))=b^2/a^2=1/4. 即b=a/2.

又c^2=a^2-b^2=3a^2/4. 所以c=根號3 a/2, 從而求得離心率e=c/a=根號3/2. 選A. 其實，a,b,c正好構(gòu)成一個含30度角的直角三角形的三邊關(guān)系。了解這一點(diǎn)，選擇中可以加快一點(diǎn)速度。

想要掌握這種“用參量方程坐標(biāo)表示圓錐曲線上的一點(diǎn)"的方法，就要在平時多加練習(xí)哦。