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哥根廷大學是德國的數(shù)學圣地，先后誕生了高斯、黎曼和以希爾伯特為首的哥根廷數(shù)學學派，與這一傳統(tǒng)相聯(lián)系的還有哲學家胡塞爾，他在哥廷根擔任了十六年的編外教授。本文介紹另一位哥根廷數(shù)學博士弗雷格，他是邏輯學家、哲學家，享有“現(xiàn)代邏輯之父”“分析哲學之父”的美譽，也是語言哲學的奠基人，影響了羅素、維特根斯坦和卡納普等人。 “一個好的數(shù)學家，至少是半個哲學家；一個好的哲學家，至少是半個數(shù)學家?！?/p> （《讀書》2022年7期新刊） 歲月的流逝是最關鍵的評判師?！笮l(wèi)·休謨 十九世紀以來，德國哥廷根大學便是一處數(shù)學圣地，那里產(chǎn)生了數(shù)學王子高斯和黎曼等彪炳史冊的數(shù)學巨匠。二十世紀初，菲利斯·克萊因和希爾伯特創(chuàng)建了哥廷根數(shù)學學派，使得世界數(shù)學中心從巴黎轉移到了哥廷根。在哥廷根成長的眾多數(shù)學博士中，還有一位成為哲學大師，那便是弗雷德里希·路德維?！じ晏芈宀肌じダ赘?，他是邏輯學家、哲學家、數(shù)學家，被廣泛認為是亞里士多德以來最偉大的邏輯學家，享有“現(xiàn)代邏輯之父”“分析哲學之父”的美譽，也是語言哲學的奠基人，對二十世紀哲學有著廣泛而深刻的影響，甚至影響了胡塞爾、羅素、維特根斯坦等大哲學家以及卡納普、奧斯汀、安斯康姆、維金斯等富有原創(chuàng)性的哲學家。
維斯馬俯瞰（來源：namu.moe） 一八四八年十一月八日，弗雷格出生在波羅的海港口城市維斯馬（Wismar），比克萊因年長一歲。維斯馬的對岸是丹麥的哥本哈根和瑞典的馬爾默，這座城市于一二六六年加入著名的“漢薩同盟”，十九世紀曾通過航運貿(mào)易繁榮一時。如今，維斯馬依舊是德國重要的貨運港和漁港，同時擁有波羅的海沿岸最具哥特式風光的建筑群。弗雷格的雙親都是教師，父親亞歷山大還在故鄉(xiāng)與人合伙創(chuàng)辦了一所女子高中，并擔任校長。亞歷山大擅長數(shù)學，這一點對兒子有絕對的影響。弗雷格童年時，亞歷山大還為九至十三歲的孩子寫過一本德語教科書，開頭一節(jié)即是有關語言的結構和邏輯。一八六六年，普奧戰(zhàn)爭爆發(fā)，那一年弗雷格十八歲，父親去世，母親瑪利亞接管了父親的學校，她的祖先是波蘭貴族，于十七世紀離開波蘭。普奧戰(zhàn)爭又稱“七星期戰(zhàn)爭”或“德意志戰(zhàn)爭”，是普魯士和奧地利這兩個德意志大邦國為爭奪統(tǒng)治權進行的內(nèi)戰(zhàn)，最后以普魯士獲勝告終。一八六七年，在普魯士領導下，北德意志邦聯(lián)誕生了，弗雷格一家成為北德意志邦聯(lián)的公民。兩年以后，弗雷格從市立學校畢業(yè)，他的老師古斯塔夫是一位詩人。古斯塔夫鼓勵弗雷格到耶拿大學繼續(xù)深造。一八六九年春天，瑪利亞把二十一歲的兒子送到德國最古老的大學之一——耶拿大學。耶拿屬于圖林根州，那時恰好在北德意志邦聯(lián)之外。十七世紀的全才萊布尼茲曾在耶拿攻讀數(shù)學，獲得碩士學位。但耶拿大學更以人文學科見長，尤其是十八世紀末以來，哲學家費希特、黑格爾、謝林、施萊格爾相繼來校任教。在隨后的兩個學年里，弗雷格修了大約二十門課程，主要是數(shù)學和物理學，也修化學和哲學。
耶拿大學景色 弗雷格就讀耶拿的第二年，即一八七〇年夏天，普法戰(zhàn)爭爆發(fā)了。這次戰(zhàn)爭由法國發(fā)動，歷時十個月，普魯士大獲全勝，統(tǒng)一奧地利之外的南方各邦（巴伐利亞、符騰堡、巴登連同黑森公國的剩余部分），建立德意志帝國。那一年，弗雷格在老師阿貝的鼓勵和幫助下，離開了耶拿大學，轉學來到哥廷根，其時高斯、狄里克萊早已去世，黎曼五年前也在意大利辭世，哥廷根數(shù)學系盛極而衰，唯有曾與高斯合作發(fā)明有線電報的物理學家威廉·韋伯尚在哥廷根任教，弗雷格聽過他的物理課。一八七三年，二十五歲的弗雷格在數(shù)學家恩斯特·謝林（與哲學家弗雷德里?！ぶx林其實不同姓）的指導下，以《論平面上虛影的幾何圖形》獲得哥廷根大學哲學博士學位。弗雷格的博士論文通過對平面上虛影圖形性質的討論，闡明了幾何學基于直覺的觀點。在哥廷根期間，弗雷格還聆聽了赫爾曼·洛采有關宗教哲學方面的系列講座。關于弗雷格的哲學思想是否受到這些講座的影響，曾經(jīng)是一個廣為討論的話題。有些人認為，洛采的邏輯觀念，特別是他對純粹邏輯的看法，對弗雷澤邏輯思想的形成有著重要的影響。博士畢業(yè)以后，弗雷格回到耶拿大學擔任無薪講師，之后一直任教于數(shù)學系，長達四十五年，直到七十歲退休。弗雷格三十一歲成為助理教授，三十五歲晉升教授，他講授過數(shù)學的各門分支課程，也有一些數(shù)學研究成果，但更多致力于數(shù)學基礎、數(shù)學哲學和邏輯理論的研究。弗雷格一生的工作主要圍繞著一個問題，即為數(shù)學提供可靠的邏輯基礎。雖然數(shù)學一向被視為嚴格演繹的典范，但那個時代的一些數(shù)學家、邏輯學家和哲學家已經(jīng)認識到，數(shù)學缺少邏輯基礎，他們開始致力于這方面的工作。至于數(shù)學是否當真需要邏輯基礎，人們是否能夠為數(shù)學建立起邏輯基礎，至今仍存在爭論。另一方面，正是在數(shù)學和邏輯的交叉領域所進行的各項研究形成了數(shù)理邏輯這門新學科，并產(chǎn)生了許多積極的成果。
1871年1月18日，威廉一世就任德意志帝國第一任皇帝（來源：cdn.britannica.com）
一八七九年，弗雷格出版了第一部著作《概念演算》（又譯《概念文字》），這是一本不足八十頁的小冊子。書中首次提供了現(xiàn)代意義下的數(shù)理邏輯的一個體系，但當時的哲學家和數(shù)學家都未能清楚地理解其意義。幾十年以后，這個主題開始發(fā)展，弗雷格的觀念透過其他同行（例如意大利人皮亞諾）的理解和宣揚傳播開來。在弗雷格生前，只有極少數(shù)同行（羅素是其中之一）給予他應得的贊賞。作為一名數(shù)學家和邏輯學家，弗雷格使得高斯以來建立的數(shù)學體系更加準確和完善，確立了算術演算的基本規(guī)則，因而成為數(shù)理邏輯的奠基人。他同時提出數(shù)學可以歸化為邏輯、數(shù)學是邏輯的延伸的思想，成為數(shù)學哲學三大流派之一——邏輯主義——名副其實的創(chuàng)始人（另兩個流派為直覺主義和形式主義）。但弗雷格自己卻因為游離于數(shù)學和哲學之間，長期被數(shù)學界和哲學界冷落。他身材矮小、性格安靜、沉默寡言，與同事和學生均較為疏遠，以至于在耶拿大學做了多年的編外教授。通常認為，用數(shù)學方法來研究邏輯問題，開始于萊布尼茲，他提出了文字學的設想。十九世紀的兩位英國數(shù)學家德·摩根和布爾用代數(shù)的方法建立了邏輯代數(shù)，其中布爾代數(shù)后來為二進制應用于電子計算機鋪平了道路。但這種邏輯代數(shù)與亞里士多德的形式邏輯（三段論是其間接推理的基本形式）本質上是一樣的。弗雷格在獲得博士學位以后，對布爾學派和萊布尼茲、康德的數(shù)學哲學思想進行了一番研究，建立并構造出了一個自給自足的邏輯演算體系。
哥廷根大學數(shù)學所小樓，弗雷格求學時尚未落成（作者攝） 弗雷格把真理分為兩種，一種真理是以經(jīng)驗事實為依據(jù)，比如物理學中的浮力定律和自由落體定律；另一種真理的證明純粹來自邏輯規(guī)律，他認為算術命題就屬于后一種。在探討這類真理時，必須絕對嚴格，防止直觀因素的滲入。弗雷格認定，日常語言在表達嚴密思想時存在障礙，尤其是在表達的關系較為復雜的情況下，日常語言更難滿足要求，因此他創(chuàng)造了概念語言或概念演算。弗雷格指出，概念語言與日常語言之間的差異，就如同機械手與人手、顯微鏡與肉眼之間的差異。為此，弗雷格首先嚴格地區(qū)分了命題的表達和判斷。他認為，只有在理解和表達了一個思想以后，才能對它加以判斷。其次，他明確地提出真值蘊含的思想，同時指出它與日常語言的區(qū)別，并采用否定和蘊含作為基本的邏輯連接詞。再次，他先后引進了“內(nèi)容同一”符號和“對象同一”符號，試圖尋求“相等”與“同一”之間的統(tǒng)一。再其次，他在邏輯演算過程里引入數(shù)學中的函數(shù)概念，建立起量詞的理論。最后，他建立了九條公理和四條規(guī)則，在此基礎上，再進行了大量的推演。雖說弗雷格成功地構造了一整套嚴格的邏輯演算體系，從而有效地終結了亞里士多德建立的形式邏輯長達兩千多年的統(tǒng)治，給出了歷史上第一個嚴格的關于邏輯規(guī)律的公理系統(tǒng)——現(xiàn)代邏輯系統(tǒng)，可是，由于他在書中利用了既復雜又陌生的符號來表達新奇的概念，使得讀者望而生畏。與弗雷格同時代的數(shù)學家施羅德當年曾撰寫長文予以全面的批評，在羅素發(fā)現(xiàn)其價值之前，《概念演算》幾乎無人問津。
位于耶拿大學的黑格爾雕像（來源：commons.wikimedia.org） 雖然《概念演算》出版后遭受冷遇，弗雷格有幾年沒有作品發(fā)表，但他并沒有氣餒，而是重新思考，并深入地研究了邏輯哲學和數(shù)學哲學。一八八四年，弗雷格的第二本著作《算術基礎》出版了，這本書包含了弗雷格核心思想最明確、最完善的闡述。弗雷格在書中提出了一個根本性的問題：“數(shù)是什么？”他指出：“數(shù)學的本質在于，一切能證明的都要證明，而不是通過歸納法來驗證，因此，我們也應考慮如何證明關于自然數(shù)的命題?！?/span>在《算術基礎》里，弗雷格論證了以下的論題：第一，反對康德認為算術真理為先天綜合命題的主張，論證它們是分析命題；第二，數(shù)可以被歸結為邏輯的類，是邏輯的一部分；第三，數(shù)，尤其算術（數(shù)論），是某種獨立的抽象對象，數(shù)字是關于數(shù)的指稱，算術是關于這些對象的性質的科學；第四，算術不是人的創(chuàng)造性游戲，而是對客觀真理的發(fā)現(xiàn)。至少，以數(shù)論學家的經(jīng)驗來看，我認同弗雷格有關算術是客觀真理的結論。事實上，算術是一座取之不竭的礦藏。弗雷格將《概念演算》中有關數(shù)學序列的理論進一步發(fā)展，他規(guī)定了“n是一個數(shù)”與“存在一個概念使得n是屬于它的數(shù)”的意義是相等的。在此基礎上，弗雷格取0作為數(shù)列的起點，0是屬于概念“不同于自身的”數(shù)，1是屬于概念“同于0”的數(shù)，2是屬于概念“同于0或同于1”的數(shù)，如此等等。很明顯，他給出自然數(shù)的定義（由此推演出整個算術理論）在于使用了“一一對應”的概念，這與年長他三歲的數(shù)學家康托爾所謂集合的“等價”意義相同，后者最引人矚目的工作是證明了整數(shù)集與實數(shù)集之間不存在一一對應。
位于維斯馬的圣尼古拉斯教堂，為哥特式建筑（來源：eurob.org）
康托爾是集合論的創(chuàng)始人，他也在同一年（一八八四）給出了自然數(shù)的定義，但弗雷格的定義更為準確。依照弗雷格的觀點，數(shù)學真理可以從邏輯中推演出來，只需把某些內(nèi)容翻譯或再造成邏輯的語言和命題。經(jīng)過弗雷格的奠基之作，羅素進一步加以發(fā)揮。翌年，其論文《數(shù)學的原理》已有了大致的輪廓。再經(jīng)過十年努力，羅素和懷特海合著的三卷本《數(shù)學原理》出齊了。這套書成為邏輯主義的權威之作，書中表達了這樣的觀念：“數(shù)學就是邏輯?！?/span>在《算術基礎》中，弗雷格還闡明了數(shù)學哲學中的三個主要原則：第一，反對數(shù)學基礎問題上的經(jīng)驗主義，強調(diào)數(shù)學真理的先天性；第二，他認為數(shù)學真理是客觀存在的，這種客觀性是產(chǎn)生思想的必要條件；第三，他主張一切數(shù)學都可以歸化為邏輯，數(shù)學概念可以定義為邏輯普遍要求的概念，數(shù)學公理可以從邏輯原則中得到證明。其中，第三條在羅素和與他亦師亦友的懷特海合作的《數(shù)學原理》中發(fā)揚光大，也因此廣為傳播，從這個意義上我們可以說，弗雷格是邏輯主義的創(chuàng)始人。在《算術基礎》之后，弗雷格集中精力寫作《算術的基本法則》，原計劃寫三卷，但實際上只完成兩卷（一八九三，一九〇二）。弗雷格擬從邏輯出發(fā)，展開幾何學以外的全部數(shù)學，他認為，邏輯的原則是完全可靠的，一旦完成了這項工作，數(shù)學“就被固定在一個永恒的基礎之上了”。第一卷發(fā)展了《算術基礎》中的理論，改進了《概念演算》中的符號系統(tǒng)，提出了不同的公理，闡述了多元的謂詞演算。謂詞演算是弗雷格的一大貢獻，衍生出現(xiàn)代數(shù)理邏輯學，雖說他的符號系統(tǒng)和記錄法笨拙繁冗，今天已無人使用。
弗雷格三角（來源：researchgate.net） 弗雷格所謂的謂詞是個廣義的概念，它包含了數(shù)學中的函數(shù)。例如，x≤y可以看成二元謂詞，x＋y＝z可以看成三元謂詞，謂詞演算包含了數(shù)學中的一些命題。二十世紀三十年代，波蘭數(shù)學家塔爾斯基還定義了謂詞公式，并引進了模型的概念，發(fā)展出了模型論這一現(xiàn)代數(shù)理邏輯的四大分支之一（另外三個是公理化集合論、證明論和遞歸論）。弗雷格開創(chuàng)了獨特的求真方式，區(qū)分了“是真”和“把某物看作真”，他通過研究句子來研究“真”，這一獨特的真之理論對語言哲學的研究有著重要的意義。弗雷格把語言的意義構成一分為二，即意義與指稱，為了說明這個觀點，他舉了金星作為例子?！伴L庚星”和“啟明星”指稱的是同一事物——金星，但兩者意義不同，“長庚星”強調(diào)的是金星在夜晚閃亮，而“啟明星”強調(diào)的則是金星在早晨閃爍。當我們想到“啟明星”，我們的心也許會激動甚至顫抖，因為它與早晨起床和新的一天聯(lián)系在一起，但金星本身的“意義”并沒有這層意思。說到語言哲學，它是哲學家對語言現(xiàn)象的研究，是分析哲學的一個變種或支脈，也是現(xiàn)代西方哲學中影響最大、最富成果的哲學流派。因其所用的方法是對語言進行邏輯分析，故而是以現(xiàn)代數(shù)理邏輯的運用為基礎的。對歐陸哲學家來說，語言哲學是邏輯、歷史甚至政治的一部分。值得一提的是，語言哲學領域的兩個主要哲學家之一奧斯汀是弗雷格《算術基礎》的英譯者，而他本人生前并無著作出版。回顧歷史上哲學與數(shù)學的交融，大致有三個蜜月期，數(shù)學家往往也是哲學家，反之亦然。首先是古希臘，泰勒斯提出了物質世界的構成問題，他認為我們的世界是由水組成的，后來的哲人各有各的看法，畢達哥拉斯認為“萬物皆數(shù)”。其次是十七世紀，哲學家關注人和人性，笛卡爾斷言“我思，故我在”，帕斯卡爾寫成了《思想錄》。最后是十九世紀后期和二十世紀前期，數(shù)學家和哲學家開始用邏輯方法探討語言現(xiàn)象和語言中的思想。換句話說，越來越接近哲學的本質——認識人自身。
弗雷格最后的居所
那為何要探討語言現(xiàn)象呢？這是由于科學的突飛猛進，新的學科和分支不斷涌現(xiàn)，甚至帶走了一些哲學的研究對象，例如心理學。與此同時，物理學也開始挑戰(zhàn)哲學的基礎學科地位。哲學有了危機，有兩個重任落在數(shù)學家出身的弗雷格頭上：其一，重新劃分哲學的界限，捍衛(wèi)哲學的領地；其二，促使哲學科學化。對第二個任務，弗雷格的《概念演算》已創(chuàng)造出與容易混淆的日常語言劃清界限的新的精確語言。對第一個任務，弗雷格的回答是：其他科學研究“什么”是真的問題，而哲學研究什么是“真”本身這個問題。《算術的基本法則》第一卷出版以后，再次受到冷遇，只有皮亞諾做了評述，但他顯然對這本書沒有足夠的理解。弗雷格并沒有受到影響，而是繼續(xù)撰寫第二部，主要論述實數(shù)的理論?？墒?，他既沒有深入研究集合論，也沒有觸及關于無窮集合的各種問題，尤其是悖論。事實上，有關集合論和無窮集合的工作已被康托爾建立，但那時尚未被人承認和知曉，更有甚者，他遭到了同胞數(shù)學家克羅內(nèi)克的激烈反對和打擊。一九〇二年，正當?shù)诙砑磳⒏队≈畷r，弗雷格收到了羅素的來信。信中羅素首先稱頌了弗雷格的工作：“就我所知，您的工作是我們時代中最好的。”“在許多具體問題上，我發(fā)現(xiàn)您的著作都進行了討論、區(qū)分和定義，這使得其他邏輯學家的工作黯然失色。”信中接著說道：“只有在一點上我遇到了困難，……下述矛盾：令W為不能論斷自身的謂詞的謂詞，W可以論斷自身嗎？任何回答都會導致矛盾?！纱宋业玫?，在某種條件下，一個可定義的集合并不構成一個整體?！币簿褪钦f，羅素的來信一方面意味著弗雷格的工作開始得到承認，另一方面又宣告了他的工作的終結。
弗雷格之墓
羅素在參加一九〇〇年巴黎首屆國際數(shù)學家大會期間，讀到了皮亞諾的一本著作，對書中嚴謹?shù)倪壿嬃粝律羁逃∠?。第二年，羅素便提出了悖論，他給弗雷格寫的信正是基于此發(fā)現(xiàn)，這封信使得弗雷格把數(shù)學建立在集合論之上的想法遭到沉重打擊。一九一九年，羅素又提出了更為通俗的理發(fā)師悖論：一個宣稱給所有不給自己刮臉的人刮臉的人，他到底有沒有給自己刮臉呢？無論如何，這都會得出矛盾的結論，這個悖論揭示了集合論本身存在著矛盾。可是，邏輯主義并未就此中斷或消失，發(fā)現(xiàn)問題的羅素和懷特海等人很好地繼承了弗雷格的事業(yè)。弗雷格曾指出：“模棱兩可與含糊其辭，對詩人來說沒有問題，具體到論述真理的語言，尤其是科學的語言，就應該準確又清晰?！眰鹘y(tǒng)哲學通常是對思維內(nèi)容和認識能力進行探討，弗雷格則對語言表達形式和內(nèi)部結構進行研究，他認為對語言意義的分析，是哲學研究的主要任務。弗雷格深信他的研究在未來會贏得更大的贊譽，并把未發(fā)表的文章留給其養(yǎng)子。弗雷格有關語言意義的觀點，深得奧地利哲學家維特根斯坦的推崇甚至膜拜，這位二十世紀著名的思想家明確指出，他的哲學工作的兩個來源是“弗雷格的巨著和我的朋友羅素的著作”。維特根斯坦曾短期來耶拿跟隨弗雷格，一九一二年他前往劍橋，在羅素的指導下學習數(shù)理哲學，那也正是弗雷格的建議和推薦。
紀念弗雷格的行走 一九二一年，在羅素的幫助下，維特根斯坦的《邏輯哲學論》出版了，這部書的中心問題是：“語言是如何可能成其為語言的？”讓維特根斯坦驚訝的是我們司空見慣的一個事實：一個人居然能聽懂他以前從未遇到的句子。他本人對此是這樣解釋的：“一個描述事物的句子或命題必定是一幅圖像。”維特根斯坦認為，所有的圖像和世界上所有可能的狀態(tài)一定具有某種相同的邏輯形式。弗雷格曾寫道：“一個好的數(shù)學家，至少是半個哲學家；一個好的哲學家，至少是半個數(shù)學家?！币痪乓话四晁诵莺?，回到故鄉(xiāng)梅克倫堡-前波美拉尼亞州，在德國第四大湖施韋里納湖北岸的小城巴德克萊茵（Bad Kleinen）定居，繼續(xù)著書立說，并轉向他年輕時的課題——幾何學，提出幾何學是數(shù)學的基礎。巴德克萊茵離弗雷格的出生地維斯馬只有二十多公里，他于一九二五年七月二十六日去世，安葬在施韋里納湖畔。如今每年春天，梅克倫堡西北地區(qū)的居民都會通過往返這兩座城市的集體行走活動紀念弗雷格。
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