我年少時，并不喜歡讀書，在香港元朗的平原上嬉戲玩耍，也在沙田的山丘和海濱游戲。與同伴在一起，樂也融融，甚至逃學(xué)半年之久。真可謂倘佯于山水之間，放浪形骸之外。在這期間，唯一的負(fù)擔(dān)是父親要求我讀書練字，背誦古文詩詞，讀近代的文選，也讀西方的作品。

　　但是，當(dāng)時我喜愛的不是這些書，而是武俠小說，從梁羽生到金庸的作品都看了一遍。由于這些小說過于昂貴，只能從鄰居借來，得之不易。借到手后，驚喜若狂。父親認(rèn)為這些作品文字不夠雅馴，不許我看，所以我只得躲在洗手間偷偷閱讀。除了武俠小說外，還有《薛仁貴征東》、《七俠五義》和一些禁書，都是偷偷的看，至于名著如《水滸傳》、《三國演義》和《紅樓夢》等則是公開的閱讀，因為這是父親認(rèn)為值得看的好書。他要求我看這些書的同時，還要將書中的詩詞記熟。這事可不容易，雖然現(xiàn)在還記得其中一些詩詞，例如黛玉葬花詩和諸葛亮祭周瑜的文章等，但大部分還是忘記了。

　　《三國演義》和《水滸傳》很快就引起我的興趣，但是讀《紅樓夢》時僅看完前幾回，就沒有辦法繼續(xù)看下去。一直到父親去世后，才將這本書仔細讀過一遍，也開始背誦其中的詩詞。由于父親的早逝、家庭的衰落，與書中的情節(jié)共鳴，開始欣賞而感受到曹雪芹深入細致的文筆，絲絲入扣地將不同的人物、情景，逐步描寫出舊社會的一個大悲劇。

　　四十多年來，我有空就看這部偉大的著作，想象作者的胸懷和澎湃豐富的感情，也常常想象在數(shù)學(xué)中如果能夠創(chuàng)作同樣的結(jié)構(gòu)，是怎樣偉大的事情。我個人認(rèn)為：感情的培養(yǎng)是做大學(xué)問最重要的一部分。

伯牙鼓琴：“撫弦動曲，乃移我情”

　　汪中在《漢上琴臺之銘》中有句云：“撫弦動曲，乃移我情?！薄肚僭芬洝罚骸安缹W(xué)琴于成連，三年而成，至于精神寂寞，情之專一，未能得也……伯牙心悲，延頸四望，但聞海水汨沒，山林谷冥，群鳥悲號，仰天長嘆曰：'先生將移我情。’”這一段話，對我深有感觸。立志要做大學(xué)問，只不過是一剎那間的事。往往感情澎湃，不能自已，就能夠?qū)W(xué)者帶進新的境界。

　　父親去世以前，我學(xué)習(xí)了不少知識，也讀了不少好文章。但他的去世，卻深深地觸動了我的感情。我讀《紅樓夢》，背誦秦漢和六朝的古文，讀司馬遷的自傳、報任安書、李陵答蘇武書、陶淵明的歸去來辭等等文章，這些文章的內(nèi)容都深深地印記在我的腦海中。

　　文天祥說：“風(fēng)檐展書讀，古道照顏色?！弊憧梢悦枋鑫耶?dāng)時讀書的境況。除了中國文學(xué)外，我也讀過西方的文學(xué)，例如歌德的《浮士德》。這本書描述浮士德的苦痛，與《紅樓夢》相比，一是天才的苦痛，一是凡人的苦痛。描寫苦痛的極致，竟可以說得上是壯美的境界，足以移動人的性情。就這樣，由于父親的去世和閱讀文學(xué)的書籍，這大半年感情的波動，使我做學(xué)問的興趣忽然變得極為濃厚，再無反顧。

　　凡人都有悲哀失敗的時候，有人發(fā)憤圖強，有人則放棄理想以終其身。黃仲則詩：“結(jié)束鉛華歸少作，屏除絲竹入中年，茫茫來日愁如海，寄語羲和快著鞭。”詩雖感人，思想畢竟頹廢，使人覺得陰云蔽天。難怪黃仲則一生潦倒，終無所獲。反觀太史公司馬遷，慘受腐刑，喟然而嘆“身毀不用矣”，卻完成了傳誦千古的《史記》，適可藏諸名山大都。他在自傳中說：“自周公卒，五百歲而有孔子，孔子卒后，至于今五百歲，有能紹明世，正易傳，繼春秋，本詩書禮樂之后，意在斯乎，意在斯乎。小子何敢讓焉?！碧饭拇鞌『陀艚Y(jié)，反而使他志氣更為宏大。

　　四十年來我研究學(xué)問，處事為人，屢敗屢進，未曾氣餒。這種堅持的力量，當(dāng)可追索到當(dāng)日感情之突破。我一生從未放棄追尋至真至美的努力，可以用元稹的詩來描述：“曾經(jīng)滄海難為水，除卻巫山不是云?！碑?dāng)遇到困難時，我會想起韓愈的文章：“茍余行之不迷，雖顛沛其何傷?！蔽乙蚕矚g用左傳中的兩句來勉勵自己：“左輪朱殷，豈敢言病。”此句出自左傳晉齊鞍之戰(zhàn)：“卻克傷于矢，流血及屨，未絕鼓音，曰：'余病矣?！瘡埡钤唬?自始合，而矢貫余手及肘，左輪朱殷，豈敢言?。课嶙尤讨瓗熤?，在吾旗鼓，進退從之，此車一人殿之，可以集事，若之何其以敗君之大事也。’”

司馬遷寫史記

　　簡潔有力的定理使人喜悅，就如讀《詩經(jīng)》和《論語》一樣，言短而意深。做研究生時，我有一個想法，微分幾何畢竟是牽涉及分析﹙即用微積分為工具﹚和幾何的一門學(xué)問，幾何學(xué)家應(yīng)該從分析著手研究幾何。況且微分方程的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，這個研究方向大有可為。雖然一般幾何學(xué)家視微分方程為畏途，我決定要將這兩個重要理論結(jié)合，讓幾何和分析都表現(xiàn)出它們內(nèi)在的美。在柏克萊的第一年我跟隨Morrey教授學(xué)習(xí)偏微分方程，當(dāng)時并不知道他是這個學(xué)科的創(chuàng)始者之一。從他那里我掌握了橢圓形微分方程的基本技巧。在研究院的第二年我才開始跟隨導(dǎo)師陳省身先生學(xué)習(xí)復(fù)幾何。

　　畢業(yè)后，在我的學(xué)生和朋友Schoen、Simon、鄭紹遠、Uhlenbeck、Hamilton、Taubes、Donaldson、Peter Li等人的合作下，逐漸將幾何分析發(fā)展成一個重要的學(xué)科，也解決了很多重要的問題。

　　這是一種奇妙的經(jīng)驗，每一個環(huán)節(jié)都要花上很多細致的推敲，然后才能夠?qū)⒄麄€畫面構(gòu)造出來，正如曹雪芹寫作的《紅樓夢》一樣。尼采說：“一切文學(xué)，余愛以血書者?！辈苎┣壅f：“字字看來皆是血，十年辛苦非尋常?！蔽覀儽姸嗯笥褎?chuàng)作的幾何分析，也差不多花了十年才成功奠基。不敢說是“以血書成”，但每一次的研究都很花費工夫，甚至廢寢忘餐，失敗再嘗試，嘗試再失敗，經(jīng)過不斷的失敗，最后才見到一幅美麗的圖畫。

　　簡潔有力的定理使人喜悅，就如讀《詩經(jīng)》和《論語》一樣，言短而意深。有些定理，孤芳自賞。有些定理卻引起一連串的突破，使我們對數(shù)學(xué)有更深入的認(rèn)識。每一個數(shù)學(xué)家都有自己的品味和看法，我本人則比較喜歡后一類數(shù)學(xué)。當(dāng)定理證明后，我們會覺得整個奮斗的過程都是有意思的，正如智者垂竿，往往大魚上鉤后，又將之放生，釣魚的目的就是享受與魚比試的樂趣，并不在乎收獲。

　　從數(shù)學(xué)的歷史來看，只有有深度的理論才能夠保存下來。千百年來，定理層出不窮，但真正名留后世的結(jié)果卻是鳳毛麟角，這是因為有新意的文章實在不多，有時即使有新意，但是深度不夠，也很難傳世。當(dāng)年我看武俠小說，很是興奮，也很享受，但是很快就忘記了。在閱讀有深度的文學(xué)作品時，卻有不同的感覺。有些武俠小說雖然很有創(chuàng)意，但結(jié)構(gòu)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，有很多不合理的元素，與現(xiàn)實相差太遠，最終不能沁人心脾。

　　我們幾個朋友在研究和奮斗過程中，始終不搞太抽象的數(shù)學(xué)，總愿意保留大自然的真和美。王國維評古詩十九首：“昔為倡家女，今為蕩子婦，蕩子行不歸，空床難獨守。”“何不策高足，先據(jù)要路津，無為久貧賤，轗坷長苦辛。”以為其言淫鄙，但從美學(xué)的觀點，卻不失其真。好的數(shù)學(xué)也應(yīng)當(dāng)能接觸到大自然中各種不同的現(xiàn)象，這樣才能夠深入，才能夠傳世。

　　數(shù)學(xué)創(chuàng)作也如寫小說，總不能遠離實際。《紅樓夢》能夠扣人心弦，乃是因為這部悲劇描述出家族的腐敗、社會的不平、青春的無奈，是一個普羅眾生的問題。好的數(shù)學(xué)也應(yīng)當(dāng)能接觸到大自然中各種不同的現(xiàn)象，這樣才能夠深入，才能夠傳世。我的研究工作，深受物理學(xué)和工程學(xué)的影響，這些科學(xué)提供了數(shù)學(xué)很重要的素材。廣義相對論就是一個重要的例子。1973年在斯坦福大學(xué)參加一個國際會議時，我對某個廣義相對論的重要問題發(fā)生興趣，它跟幾何曲率和廣義相對論質(zhì)量的基本觀念有關(guān)，我鍥而不舍地思考，終于在1978年和學(xué)生Schoen一同解決了這個重要的問題。這些與相對論有關(guān)的幾何問題始終使我喜悅。

　　也許這是受到王國維評詞的影響，我認(rèn)為數(shù)學(xué)家的工作不應(yīng)該遠離大自然的真和美。直到現(xiàn)在我還在考慮質(zhì)量的問題，它有極為深入的幾何意義。沒有物理上的看法，很難想象單靠幾何的架構(gòu)，就能夠獲得深入的結(jié)果。廣義相對論中的品質(zhì)與黑洞理論都有很美的幾何意義。

　　其實西方文藝復(fù)興的一個重要反思就是復(fù)古，重新接受希臘文化真與美不可割裂的觀點。中國古代文學(xué)的美和感情是極為充沛的，先秦兩漢的思想和科技與西方無可比擬。清代以來，美術(shù)文學(xué)不發(fā)達，科學(xué)亦無從發(fā)展。讀書則以考證為主，少談書中內(nèi)容，不乏先秦兩漢唐宋作者的熱情澎湃。若今人能夠恢復(fù)古人的境界，在科學(xué)上創(chuàng)新當(dāng)非難事。

　　除了看《紅樓夢》外，我也喜歡看《史記》、《漢書》。這些歷史書不但發(fā)人深省，文筆通暢，甚至啟發(fā)我做學(xué)問的方向。由于史家寫實，氣勢磅礴，蕩氣回腸，使人感動。歷史的事實教導(dǎo)我們在重要的時刻如何做決斷。做學(xué)問的道路往往是五花八門的，走什么方向卻影響了學(xué)者的一生。復(fù)雜而現(xiàn)實的歷史和做學(xué)問有很多類似的地方，歷史人物做的正確決斷，往往能夠提供學(xué)者選擇問題一個良好的指南針。王國維說學(xué)問第一境界“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路?！弊龊玫墓ぷ?，總要放棄一些次要的工作，如何登高望遠，做出這些決斷，大致上建基于學(xué)者的經(jīng)驗和師友的交流上。然而對我而言，歷史的教訓(xùn)卻是很有幫助的。

　　我剛畢業(yè)時，蒙幾何學(xué)家西門斯邀請到紐約石溪做助理教授。當(dāng)時石溪聚集了一群年青而極負(fù)聲望的幾何學(xué)家，在度量幾何這個領(lǐng)域上可說是世界級重鎮(zhèn)。我在那里學(xué)了不少東西。一年后又蒙奧沙文教授邀請我到史丹福大學(xué)訪問，接著史丹福大學(xué)聘請我留下來。但是當(dāng)時史丹福大學(xué)基本上沒有做幾何學(xué)的教授，我需要做一個決定。

　　這時記起《史記》敘述漢高祖的事跡。劉邦去蜀，與項羽爭霸，屢敗屢戰(zhàn)。猶駐軍中原，無意返蜀，竟然成就了漢家四百多年的天下。對我來說，度量幾何的局面太小，而史丹福大學(xué)能夠提供的數(shù)學(xué)前景宏大得多，所以決定還是留在史丹福做教授，與Schoen、Simon合作。現(xiàn)在想來，這是一個正確的決定。

　　如上所言，我的想法和一般同學(xué)的想法不大一樣，也不見得是其他一流數(shù)學(xué)家的想法。但是有一點是所有學(xué)者都有的共同點：努力學(xué)習(xí)，繼承前人努力得來的成果，不斷地向前摸索。我年少時受到父親的鼓勵，對求取知識有濃烈的興趣，對大自然的現(xiàn)象和規(guī)律都很好奇，想去了解，也希望能夠做一些有價值的工作，傳諸后世。我很喜愛以下兩則古文?？鬃樱骸熬蛹矝]世而不稱焉?！辈茇А兜湔撜撐摹罚骸吧w文章，經(jīng)國之大業(yè)，不朽之盛事……是以古之作者，寄身于翰墨，見意于篇籍，不假良史之辭，不托飛馳之勢，而聲名自傳于后。”

　　立志當(dāng)然是一個好的開始，但是如何做好學(xué)問卻是一個重要的問題，我有幸得到好的數(shù)學(xué)老師指導(dǎo)。當(dāng)我學(xué)習(xí)平面幾何時，我才知道數(shù)學(xué)的美，也詫異于公理邏輯的威力。因為對幾何的興趣，我做習(xí)題時都很成功，也從解題的過程中產(chǎn)生了濃厚的好奇心。我開始尋找新的題目，去探討自己能夠想象的平面幾何現(xiàn)象。每天早上坐火車上學(xué)時我也花時間去想，這種練習(xí)對我以后的研究有很大的幫助。

　　中學(xué)時的訓(xùn)練對同學(xué)們都有很大的幫助，但修能卻需要浸淫于書本，從聽課和師友交流中，可以發(fā)現(xiàn)那些研究方向最為合適。找到理想的方向后，就需要勇往直前。好在，培正中學(xué)出了不少數(shù)學(xué)名家。我們中學(xué)的老師在代數(shù)和數(shù)論方面的涉獵比較少，培正同學(xué)們在這方面的成就也相對地比較弱，由此可以看到中學(xué)教育的重要性。屈原說：“紛吾既有此內(nèi)美兮，又重之以修能?！蔽恼碌母裾{(diào)和對學(xué)術(shù)的影響力與“內(nèi)美”有關(guān)，可以從詩詞、禮、樂、古文、大自然的環(huán)境中培養(yǎng)吸收。

　　有了理想的方向，還需要尋找好的問題。西方哲人亞里斯多德﹙Aristotle﹚在名著《形而上學(xué)》一書中說：“人類開始思考直接觸目不可思議的東西而或驚異……而抱著疑惑，所以由驚異進于疑惑，始發(fā)現(xiàn)問題?！斌@異有點像驚艷，但這種驚異一方面需要多閱歷，一方面需要感情充沛，才能夠產(chǎn)生。空間曲率的概念對我具有極大的吸引力，我從廣義相對論中知道所謂Ricci曲率的重要性。通過愛因斯坦方程，它描述物質(zhì)的分布，這個方程的簡潔和美麗使我詫異。

　　我認(rèn)為了解Ricci曲率是了解宏觀幾何的最重要一環(huán)，但幾何茫茫，無從著手。有一天很高興地發(fā)現(xiàn)Calabi先生在1954年時有一篇文章，敘述在復(fù)幾何的領(lǐng)域中，Ricci曲率有一個漂亮的命題，但他卻沒有辦法證明這個命題。當(dāng)時我很興奮，但也覺得它不大可能是真實的，因為這個命題實在太美妙了。所有年輕的朋友都這么說，甚至我的導(dǎo)師也這么說。陳先生甚至認(rèn)為這個研究方向的意義不大，我卻固執(zhí)地認(rèn)為對Calabi猜測總要找出一個水落石出的答案。直到有一天，經(jīng)過大量的嘗試后，我才發(fā)覺從前走的方向完全是錯誤的，于是反過來企圖證明這個猜想。但要證明它，卻需要有基本的分析能力，我和我的朋友鄭紹遠花了不少工夫去建立跟這個問題有關(guān)的工作，終于我在一九七六年完成了這個重要猜想的證明。

　　這個猜想在一九七六年全部完成，我同時應(yīng)用它解決了代數(shù)幾何里好幾個基本問題。毫無疑問，這是一個漂亮的定理，也打開了幾何分析的一個大門。當(dāng)時我剛結(jié)婚，正在享受人生美好的時刻，也獨自欣賞這個剛完成的定理的真實和美麗，有如自身的個體融入大自然里面。當(dāng)時的心境可以用下面兩句來描述：“落花人獨立，微雨燕雙飛?！?/strong> 由這個定理引起的學(xué)問，除了幾何分析上的Monge-Ampere方程外，在代數(shù)幾何上獨樹一幟，以后在弦學(xué)理論成為一個重要的宇宙模型。在解決Calabi猜想的同時，有一天我碰見從前在柏克萊的同學(xué)Meeks先生。他是一個嬉皮士，兩手各摟抱著一個少女，在系里的走廊上高高興興地走來。但我覺得此人極有才華，建議與他合作去解決一個極小流形的古老問題。我們用拓?fù)鋵W(xué)的辦法解決了這個問題，反過來又用得到的結(jié)果，解決了拓?fù)鋵W(xué)上一些重要的問題，再加上我的同學(xué)Thurston的重要工作，竟然解決了拓樸學(xué)上著名的Smith猜想。1976年可說是我收獲極為豐富的一年，我那年剛結(jié)婚，剛搬到洛杉磯，生活未算安定。由此可知，做學(xué)問沒有最安定的環(huán)境也可以成功的。

　　在代數(shù)幾何得到一定成功后，我接觸到很多代數(shù)幾何學(xué)家，也開始了解這個學(xué)科的走向。Calabi猜想是關(guān)于度量的猜測，我開始比較度量幾何和復(fù)纖維叢上的度量問題，我猜想纖維叢也有類似于Calabi猜想中的度量，同時和纖維朿的穩(wěn)定性有關(guān)，Uhlenbeck和我花了很長一段時間才將這個問題全部解決。﹙在這期間英國的Simon Donaldson用不同的方法解決了二維的情形，并且很快就完成了高維空間中這個定理的重要情形。﹚在解決這個問題后，我建議我的朋友Witten考慮這個定理的物理意義，他當(dāng)時認(rèn)為這個定理的物理意義不大，但一年后他改變了想法，寫了一篇文章解釋它們在弦論上的作用。直到如今，這個結(jié)構(gòu)在弦論上仍占據(jù)著很重要的位置。這篇文章花了Uhlenbeck和我很長的時間，可說是極為艱苦的奮斗才完成的。Uhlenbeck來Princeton訪問我時，為了尋找這個問題的解法，竟然關(guān)在房間里三天之久。我和Uhlenbeck的工作以后被推廣，尤其是加上我的朋友Hitchin引進的HiggsField以后，成為代數(shù)幾何和算術(shù)幾何中強有力的工具。

　　Calabi猜想的一個重要結(jié)論是，代數(shù)空間有很強的拓樸限制，包括Miyaoka-Yau不等式的成立，從而有代數(shù)流型的剛性結(jié)果。這個結(jié)果被我應(yīng)用而解決了古老的Severi猜想。在這個基礎(chǔ)上，我猜測某些代數(shù)空間有更一般的剛性結(jié)果。我并提出用調(diào)和映射的方法來解決這個猜想。其實在更早的時候，我和Schoen已經(jīng)在調(diào)和映射做了不少工作。

　　在1984年弦理論成為理論物理的重要一門學(xué)科以后，我以前做的好幾項工作都受到理論物理學(xué)家的歡迎。我也深受物理學(xué)家對數(shù)學(xué)洞察力的影響，我有十多位跟隨我的博士后，他們都是物理學(xué)博士。我從他們那里學(xué)習(xí)物理。最令我驚訝的一次是，我的博士后Brian Greene跑到我的辦公廳，向我解釋他最新的發(fā)現(xiàn)，就是在Calabi-Yau空間中，存在所謂鏡對稱的觀點，這個發(fā)現(xiàn)對代數(shù)幾何有極大的沖擊，影響至今。它的結(jié)論至為漂亮，從不同角度解釋了代數(shù)幾何里百年來不解的現(xiàn)象，但物理學(xué)家沒有辦法給出一個證明，六年后在眾多數(shù)學(xué)家努力的基礎(chǔ)上，劉克峰、連文豪和我終于找到一個滿意的證明。

　　但是我覺得我們對鏡對稱這個現(xiàn)象還是沒有得到深入的了解，兩年后Strominger、Zaslow和我終于找到這個對稱的幾何解釋，引起了一連串重要的突破，可是，鏡對稱在數(shù)學(xué)上到現(xiàn)在還沒有嚴(yán)格的證明。Zaslow是跟隨我的博士后，他以后成為西北大學(xué)的大教授。當(dāng)時我和他還做了一個重要的工作。從弦學(xué)上膜的觀點，我們找到一個公式﹙Yau-Zaslow公式﹚。這個公式可以用來計算K3曲面上的有理曲線的個數(shù)，公式由數(shù)論中的某些著名的函數(shù)給出，這是數(shù)論函數(shù)出現(xiàn)在計算曲線數(shù)目的第一次，以后很多代數(shù)幾何學(xué)家繼續(xù)這個研究，將這個公式推廣到更一般的情形。

　　與物理學(xué)家合作是愉快的經(jīng)驗，可以有跳躍性的進展，而又不停的去反思，希望能夠從數(shù)學(xué)上解釋這些現(xiàn)象，在這個過程中往往推進了數(shù)學(xué)的前沿。過去二十多年，我也花了一些工夫去做應(yīng)用數(shù)學(xué)的工作，一方面和金芳蓉在圖論上的合作，一方面和我弟弟共同研究控制理論。近年來更和顧險峰等合作做圖像處理的研究。這些工作都和我從前研究的幾何分析有關(guān)，尤其是我和Peter Li研究的特征函數(shù)的問題。起源于當(dāng)年我在史丹福研究調(diào)和函數(shù)的梯度估計。我還記得我傍晚時躲在辦公室里，試驗用不同的函數(shù)來算這些估值，舍不得去看史丹福校園落日的景色。史丹福的校園確實漂亮，黃昏時在大教堂的廣場，在長長的回廊上散步?？粗淙臻F金，青草連天的景色，心情特別舒暢。我早年的工作都在這里孕育而成。

　　除了Calabi猜想外，還有正質(zhì)量猜想的證明。1979年的夏天，我和Schoen住在他女朋友Los Altos的家里，白天我們將這個猜想的證明逐步寫出來，到了晚上十時多才回家去游泳池游泳。在這一段日子里，我們也將正數(shù)值曲率空間的理論完成。

　　做科研確實需要付出代價，但它的快樂無窮。

　　先父的心愿是：“尋孔顏樂處，拓萬古心胸?！?/span>

　　我只知自得其樂，找尋我心目中宇宙的奧秘。

　　“衣沾不足惜，但使愿無違?！?/span>

　　作者：丘成桐（國際知名數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎首位華人得主，美國國家科學(xué)院院士、美國藝術(shù)與科學(xué)院院士、中國臺灣中央研究院院士、中國科學(xué)院外籍院士、中國香港科學(xué)院名譽院士。）