已知運(yùn)動(dòng)物體的速度或加速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，通過對(duì)時(shí)間求定積分的方法就可以得到位置或速度與時(shí)間的依賴關(guān)系。我們已經(jīng)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)基本概念做了簡(jiǎn)單的討論。在《粒子沿直軌道運(yùn)動(dòng)》中，我們從中學(xué)的知識(shí)出發(fā)，給出了一個(gè)粒子在做自由下落運(yùn)動(dòng)時(shí)空間位置與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，并在《一維運(yùn)動(dòng)的速度與加速度》中導(dǎo)出了下落速度和加速度對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系。這就帶來了兩個(gè)問題：第一個(gè)問題是，粒子在運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的空間位置與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系總是已知的嗎？第二個(gè)問題是，空間位置與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系是如何獲得的？對(duì)第一個(gè)問題的回答顯然是否定的。作為對(duì)這個(gè)問題的進(jìn)一步回應(yīng)，我們?cè)谶@一小節(jié)中將著手解決如何獲得這個(gè)函數(shù)關(guān)系的問題，借此也回答了上述第二個(gè)問題。作為解決上面提出的第二個(gè)問題的第一步，我們可以先反過來提出這樣一個(gè)問題：既然知道了粒子的位置隨時(shí)間的變化關(guān)系，就可以通過對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)的方法得到粒子的運(yùn)動(dòng)速度和加速度對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系，那么，如果已經(jīng)用某種方法得到了速度或加速度隨時(shí)間的改變，是否也可以通過某種數(shù)學(xué)方法求得粒子的空間位置與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系呢？假定我們已經(jīng)通過某種途徑得到了速度對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系。為了求出空間位置 與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系，假定粒子在 時(shí)刻從 處開始運(yùn)動(dòng)，于時(shí)刻到達(dá)處。將這段軌跡按照上面左邊圖的圖示劃分成首尾相接的 段：在這個(gè)圖中，虛線代表位置與時(shí)間的假想的函數(shù)關(guān)系，其中 ，每一段的時(shí)間間隔和位移分別為
顯然，粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生了一個(gè)位移，另一方面，根據(jù)剛才對(duì)軌跡的劃分，這個(gè)位移應(yīng)該等于段位移的代數(shù)和
在上面的表達(dá)式中，符號(hào)Σ代表對(duì)求和指標(biāo) i 從 1 到 n 求和。由于在每一段位移中必定有一個(gè)平均速度，根據(jù)平均速度的定義，每一段位移必定滿足。于是
接下來，讓前面對(duì)軌跡的有限劃分過渡到無限劃分，這其實(shí)就意味著每一段位移和對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔趨于零：，在這個(gè)極限下，每一段位移對(duì)應(yīng)的平均速度趨于每個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度。從數(shù)學(xué)上看，在這種極限劃分下，求和就轉(zhuǎn)化成定積分：
這是位置與速度的積分關(guān)系，它給出了位置按怎樣的函數(shù)形式依賴于時(shí)間。如果已經(jīng)通過某種途徑獲得了加速度對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系，也可以通過與上述類似的分析得到速度與時(shí)間的依賴關(guān)系：
有了這個(gè)關(guān)系，利用位置與速度的積分關(guān)系就可以進(jìn)一步求出位置與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。我沒有詳細(xì)地分析最后一個(gè)公式是如何得到的，只在上面右邊圖的圖示中給出了進(jìn)行這個(gè)分析所需要的函數(shù)圖，具體的分析過程留給各位思考。這是你大顯身手的機(jī)會(huì)，以此驗(yàn)證你是否已經(jīng)學(xué)會(huì)了物理學(xué)處理問題的其中一種方法。
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