【原】子群的陪集

cosmos2062 2022-07-14 發(fā)布于廣東

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我們已經(jīng)討論過(guò)子群的概念，現(xiàn)在讓我們對(duì)子群及其相關(guān)的概念做進(jìn)一步的討論。還是以 D? 群為例，它有4個(gè)子群：

H?={e,d,f}，H?={e,a}，H?={e,b}，H?={e,c}

考慮 H? 這個(gè)子群，用不屬于該子群的任意一個(gè)群元左乘這個(gè)子群的各個(gè)群元：

aH?={a,b,c}，bH?={b,c,a}，cH?={c,a,b}

把所得到的形如 aH? 這樣的集合稱(chēng)為 H? 的以 a 為代表群元的左陪集。對(duì)其余三個(gè)子群，也可以得到相應(yīng)的左陪集：

dH?={d,c}，fH?={f,b}，bH?={b,f}，cH?={c,d}

dH?={d,a}，fH?={f,c}，aH?={a,d}，cH?={c,f}

dH?={d,b}，fH?={f,a}，aH?={a,f}，bH?={b,d}

觀(guān)察上述各個(gè)子群的左陪集不難發(fā)現(xiàn)這樣的共同點(diǎn)，這些共同點(diǎn)也適用于任何一個(gè)群：

1.左陪集沒(méi)有單位元素，不構(gòu)成一個(gè)群；

2.一個(gè)群的某個(gè)子群及其全部左陪集包含了這個(gè)群的全部群元；

3.同一個(gè)子群的不同代表群元對(duì)應(yīng)的左陪集要么相等，要么沒(méi)有相同的群元。比如說(shuō)，對(duì)子群 H?，dH?=cH?，它們與 fH?=bH? 沒(méi)有相同的群元。這意味著一個(gè)子群的左陪集如何選擇代表群元有一定的任意性，對(duì)子群 H?，既可以選擇 d 和 f，也可以選擇 d 和 b，等等；

4.某個(gè)子群的每一個(gè)左陪集包含的群元數(shù)目與該子群的階相同。比如說(shuō) H? 這個(gè)子群有三個(gè)群元，它的每一個(gè)左陪集都有三個(gè)群元。

根據(jù)第二和第三個(gè)性質(zhì)，一個(gè)群可以按某個(gè)子群及其全部不相等的左陪集分解。比如說(shuō)對(duì) D? 群：

D?=H?⊕aH?=H?⊕bH?

=┉=H?⊕dH?⊕fH?

=H?⊕bH?⊕cH?=┉

容易論證，有限群的階必定能被它的子群的階整除。假設(shè)群 G 的階為 n，它的一個(gè)子群 H 的階為 nh，有 k-1 個(gè)不相等的左陪集。由第二和第三個(gè)性質(zhì)可知，H 及其全部不相等的左陪集包含了 G 的全部群元，根據(jù)第四個(gè)性質(zhì)馬上可以得到 n=knh。這意味著有限群的階必定能夠被其子群的階整除，所得的商 k 稱(chēng)為該子群的指數(shù)。比如說(shuō)， D? 群是一個(gè)六階群，它的其中一個(gè)子群 H? 是三階的，對(duì)應(yīng)的指數(shù) k=2。如果 k=1，則 nh=n，G 的這個(gè)子群就是 G 自身；如果 k=n，則 nh=1，G 的這個(gè)子群就只包含單位元素。上述兩種子群被稱(chēng)為平凡子群，在其他情況下，G 的子群被稱(chēng)為真子群。以上結(jié)果也意味著一個(gè)素?cái)?shù)階的群沒(méi)有真子群。

既然有左陪集的概念，就必定有右陪集的概念。所謂右陪集，就是在上述對(duì)左陪集的陳述中，用右乘代替左乘。右陪集具有與左陪集相同的性質(zhì)。一般情況下，一個(gè)子群以某個(gè)群元為代表群元的左陪集與右陪集并不相等，比如說(shuō)對(duì) D? 群的 H? 子群，它的右陪集為

H?d={d,b}，H?f={f,c}，H?b={b,d}，H?c={c,f}

顯然，dH?≠H?d。當(dāng)然，也有一些子群，它們的左陪集和右陪集是相等的。還是以 D? 群為例，它的子群 H? 的右陪集為

H?a={a,c,b}，H?b={b,a,c}，H?c={c,b,a}

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，H? 的三個(gè)左陪集和三個(gè)右陪集全部相等。把具有這種性質(zhì)的子群稱(chēng)為不變子群?？梢杂脟?yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言將不變子群的概念表述為：設(shè) H 是 G 的一個(gè)子群，如果對(duì)任意的 g∈G 都有 gH=Hg，則稱(chēng) H 為 G 的不變子群。不變子群也叫正規(guī)子群。