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一個復數(shù)是一對有序排列的實數(shù)(a,b)，其中a和b是兩個任意的實數(shù)。復數(shù)滿足如下的運算規(guī)則：如果有兩對這樣的實數(shù)，要把它們加起來，就要按照以下的運算規(guī)則相加： 稱之為加法規(guī)則；如果要讓他們相乘，則要按照以下的運算規(guī)則相乘：
稱之為乘法規(guī)則。以上加法規(guī)則和乘法規(guī)則就是復數(shù)必須滿足的兩條規(guī)則。其中的a稱為這個復數(shù)的實部，b稱為這個復數(shù)的虛部，分別用以下的符號表示：
如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，則這兩個復數(shù)相等。除了相等這種比較之外，復數(shù)是不能比較大小的。在上面對復數(shù)的分解式中，出現(xiàn)了一個特殊的復數(shù)(1,0)，容易證明，這個復數(shù)具有與實數(shù)1相同的運算效果：
因此，當我們遇到(1,0)這個復數(shù)時，直接用1代替就行了；我們還遇到一個特殊的復數(shù)(0,1)，這是一個虛單位，為了書寫方便，用小寫英文字母i代表這個復數(shù)，它有這樣的性質(zhì)：引入虛單位的簡寫符號之后，任意一個復數(shù)就可以寫成以下簡便的形式：還有一個特殊的復數(shù)(0,0)，容易證明它具有與實數(shù)0相同的運算效果：因此，以后凡是遇到(0,0)這個復數(shù)，就可以直接寫成0。除了加法和乘法，復數(shù)還有一種特殊的運算：復共軛運算。一個復數(shù)的復共軛被定義為：
也就是將一個復數(shù)的虛部改變一個正負號。不難看出，一個復數(shù)做了一次復共軛后再做一次復共軛，就還原為原來那個復數(shù)。一個復數(shù)與它的復共軛相乘給出一個實數(shù)：復數(shù)的加法與乘法有相應(yīng)的逆運算，它們是減法和除法。減法不用多說，減去一個復數(shù)就是加上這個復數(shù)的負數(shù)： 除法就有點麻煩了。當兩個復數(shù)相除時，分母必然會出現(xiàn)一個復數(shù)，在這種情況下，我們就不能把相除的結(jié)果寫成實部和虛部相加的形式。為了能夠把復數(shù)相除的結(jié)果寫成實部和虛部相加的形式，必須把分母變成一個實數(shù)。這時候，復數(shù)的復共軛這個概念就起作用了。在分子和分母上同時乘以分母的復共軛，就把分母變成了一個實數(shù)而不改變整個分數(shù)：這樣，就把兩個復數(shù)相除的結(jié)果分解成實部和虛部相加的形式。補充了復數(shù)的減法和除法之后，就有了復數(shù)的一套完整的四則運算。復數(shù)的四則運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律，并且還滿足如下規(guī)則： 
| 在平面上畫一個直角坐標系，把它的橫軸與復數(shù)的實部對應(yīng)，縱軸與復數(shù)的虛部對應(yīng)，就構(gòu)成一個復平面。每一個復數(shù)都落在復平面的一個確定點上，復數(shù)與復平面上的點有一一對應(yīng)關(guān)系。引入復平面后，一個復數(shù)與它的復共軛之間的關(guān)系就非常清楚了：它們關(guān)于x軸對稱。 | |
有了復平面，就可以用復平面上的自由矢量來表示復數(shù)。從原點向所研究的復數(shù)點作一個矢量，用這個矢量代表所研究的復數(shù)。用矢量的方式表示一個復數(shù)這種方法顯示，復數(shù)的加減法運算滿足平行四邊形法則或三角形法則。復數(shù)的矢量表示法告訴我們，一個復數(shù)與它的復共軛相乘將給出這個復數(shù)在復平面上所處的位置到原點的距離。我們把這個距離叫做這個復數(shù)的模。 還可以用極坐標表示復數(shù)。在平面直角坐標系的基礎(chǔ)上取極坐標系。當一個復數(shù)用矢量來表示時，這個矢量有一個長度，矢量的指向與x軸還有一個夾角，這個復數(shù)就可以表示成這樣： 其中的r就是這個復數(shù)的模，而θ則被稱為這個復數(shù)的輻角：由復數(shù)的極坐標表示法馬上得到這個復數(shù)的實部和虛部： | 復數(shù)的這種表示方式再次告訴我們怎樣計算復數(shù)的模。復數(shù)的矢量表示法顯示，0的輻角并不確定。由于三角函數(shù)具有周期性，因此，復數(shù)的輻角并不唯一，輻角具有多值性。 |
習慣上將一個復數(shù)的在半開區(qū)間之間的輻角值稱為這個復數(shù)的輻角的主值，用以下的方式標記：
在極坐標表示法下，復數(shù)的乘法和除法運算變得很簡單。兩個復數(shù)相乘是這樣運算的： 在極坐標表示的基礎(chǔ)上，定義復指數(shù)： 復指數(shù)的性質(zhì)與實指數(shù)完全相同：有了復指數(shù)的概念，一個復數(shù)就可以表示成如下簡潔的形式：在復數(shù)的指數(shù)表示法下，復數(shù)的乘法與除法運算更加簡單。兩個復數(shù)相乘就是這個樣子的：顯然，它是直接利用了復指數(shù)的性質(zhì)進行的。兩個復數(shù)相除也一樣：我們已經(jīng)將模為有限的復數(shù)與復平面上離開原點為有限遠的點一一對應(yīng)起來。也可以用復球面上的點表示這些有限遠處的復數(shù)。在復平面上以原點為南極、垂直于復平面的方向為極向畫一個直徑為一個單位的球面。極軸與這個復球面上端的交點就是北極。 從北極點向復平面上的點引一條直線，這條直線必定與復球面交于某點，就用這個交點代表復平面上的復數(shù)。復平面與復球面的這種對應(yīng)關(guān)系叫測地投影。 |
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當利用復球面上的點來表示復數(shù)時，赤道上的點落在復平面的單位圓上。不難看出，如果讓復平面上的點無限遠離原點，它在復球面上對應(yīng)的點就會無限靠近北極點。由此得到無窮遠點在復球面上的對應(yīng)點，這種對應(yīng)顯示，無窮遠點的輻角也是不確定的。
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