在非相對(duì)論量子力學(xué)中，Schr?dinger方程可以描寫具有任意自旋的粒子；然而，在相對(duì)論量子力學(xué)中，Lorentz不變性的限制要求波函數(shù)必須是某一類Lorentz協(xié)變量，因此，具有不同自旋的粒子將滿足不同的波動(dòng)方程。在《Klein-Gordon方程》那一節(jié)中，我們已經(jīng)簡(jiǎn)單地討論過(guò)自旋等于零的粒子所滿足的波動(dòng)方程，這一節(jié)我們將討論電子的相對(duì)論性波動(dòng)方程，它是在1928年前后由Dirac等人建立起來(lái)的。為了對(duì)波函數(shù)做直截了當(dāng)?shù)母怕式忉?，必須找到一個(gè)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為一階的方程。根據(jù)這個(gè)想法，粒子的量子力學(xué)方程必定具有這樣的形式： (1.2.1)為了保證方程的Lorentz不變性，Hamilton量應(yīng)當(dāng)只包含對(duì)空間坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)?？紤]相對(duì)論的能量—動(dòng)量關(guān)系，由量子力學(xué)的算符對(duì)應(yīng)可以判斷，一個(gè)自由粒子的Hamilton量必定具有這樣的形式：
 (1.2.2)對(duì)于一個(gè)自由粒子，由這個(gè)算符得出的量子力學(xué)方程必須能夠給出正確的能量—?jiǎng)恿筷P(guān)系。這實(shí)際上等同于要求，把方程(1.2.1)兩邊的算符重復(fù)作用一次應(yīng)該能夠給出Klein-Gordon方程。由這個(gè)要求得到算符方程：前兩個(gè)關(guān)系已經(jīng)很明確了，并且，第二個(gè)關(guān)系明確地暗示，方程中引入的算符α和β不可能是普通的數(shù)，而是矩陣形式的算符，稱之為Dirac矩陣?，F(xiàn)在來(lái)討論第三個(gè)關(guān)系。這個(gè)關(guān)系可以改寫成這樣的形式：由于等式右邊求和中的每一項(xiàng)關(guān)于指標(biāo) 是對(duì)稱的，而左邊則不具有這種對(duì)稱性，因此，不能直接比較等式兩邊求和號(hào)內(nèi)的因子，即由求和等式不能直接寫下 。為了能夠比較等式的兩邊，必須把等式的左邊寫成關(guān)于對(duì)稱的形式：這樣就可以比較等式兩邊求和號(hào)內(nèi)的因子了：這個(gè)關(guān)系的一個(gè)特殊情形是 。引入表示反對(duì)易關(guān)系的大括號(hào)之后，四個(gè)算符具有如下關(guān)系： (1.2.3)
對(duì)這四個(gè)矩陣還可以提出一些特別的要求。我們知道，Hamilton量是厄米的，這就要求四個(gè)矩陣必須是厄米矩陣；對(duì)(1.2.3)式的第二個(gè)關(guān)系左乘β，利用第三個(gè)關(guān)系改寫成，對(duì)這個(gè)等式的兩邊求跡。由于矩陣相乘的跡與相乘矩陣的乘積順序無(wú)關(guān)，因此，求跡等式左邊的結(jié)果是，而右邊的結(jié)果則是，由此得到。對(duì)β可以做相似的討論。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，四個(gè)Dirac矩陣的跡都等于零；現(xiàn)在來(lái)看(1.2.3)式中的第三個(gè)關(guān)系，它要求這些矩陣的本征值必須等于±1。由于跡正好等于各個(gè)本征值之和，因此，本征值的個(gè)數(shù)或者說(shuō)矩陣的維數(shù)必須是偶數(shù)。最低的偶數(shù)維是二維，它有四個(gè)線性無(wú)關(guān)的矩陣。三個(gè)彼此反對(duì)易的泡利矩陣顯然是線性無(wú)關(guān)的，并且都與單位矩陣線性無(wú)關(guān)。于是，任何二維矩陣都可以表示成這四個(gè)矩陣的線性疊加。這樣，我們就找不到四個(gè)線性無(wú)關(guān)的彼此反對(duì)易的二維矩陣。因此，能夠滿足以上要求的最低維數(shù)是4。原則上說(shuō)，在處理問(wèn)題的時(shí)候，并不需要Dirac矩陣的具體表示，只要利用它們的厄米性和代數(shù)性質(zhì)(1.2.3)式就足夠了。不過(guò)，為了把問(wèn)題表述得更具體，我們會(huì)在某個(gè)確定的表象下把這些矩陣表示出來(lái)。取β為對(duì)角的表象顯然是方便的，在這個(gè)表象中，不失一般性地可以令β為取以下形式的矩陣：其中 ? 是二維單位矩陣。β矩陣取這個(gè)形式的表象稱為Dirac表象，在這個(gè)表象下，β顯然滿足 (1.2.3)式的第三個(gè)關(guān)系。把這個(gè)結(jié)果代入(1.2.3)式的第二個(gè)關(guān)系中，就可以得到α必定具有以下形式：其中 b 和 c 都是二維矩陣。由于α必須是厄米矩陣，因此，。把這種形式的三個(gè)α用到(1.2.3)式的第一個(gè)關(guān)系中，得到如下關(guān)系：這個(gè)結(jié)果顯示 b 是一個(gè)幺正矩陣。此外，由也可以得到這個(gè)性質(zhì)。容易證明，上面的兩個(gè)關(guān)系式是等價(jià)的，比如說(shuō)對(duì)第二個(gè)關(guān)系用左乘，同時(shí)用右乘，利用 b 的幺正性就能夠?qū)С龅谝粋€(gè)關(guān)系。到此為止，對(duì)四個(gè)矩陣的要求全部用完，在滿足上述要求的基礎(chǔ)上，的形式有一定的任意性。既然這樣，取為厄米矩陣是方便的：，在這種選擇下，滿足如下關(guān)系式： 這個(gè)關(guān)系讓我們想起三個(gè)彼此反對(duì)易的Pauli矩陣。于是，在β為對(duì)角的表象中，我們有： (1.2.4)從理論的簡(jiǎn)單性考慮，不需要再尋找更高的偶數(shù)維表示了。與此相應(yīng)，波函數(shù)必須是一個(gè)4×1的矩陣。要使上面討論的方程能夠構(gòu)成單粒子的量子力學(xué)方程，必須容許有一個(gè)連續(xù)性方程以及對(duì)波函數(shù)的概率解釋。考慮Dirac方程及其共軛方程：已經(jīng)考慮到波函數(shù)是一個(gè)矩陣以及Dirac矩陣的厄米性。用共軛波函數(shù)左乘第一式，波函數(shù)本身右乘第二式。兩式相加得到： (1.2.5)這個(gè)式子暗示，可以將波函數(shù)與它的共軛函數(shù)的乘積看做是概率密度：ρ=ψ?ψ，而概率流則被定義為：，這個(gè)結(jié)果顯示，算符代表電子的運(yùn)動(dòng)速度。按照上述定義，(1.2.5)式正是概率守恒方程。20世紀(jì)30年代，人們把上述以概率解釋為基礎(chǔ)的量子力學(xué)應(yīng)用到電子的運(yùn)動(dòng)中，得到了許多有意義的結(jié)果，比如說(shuō)氫原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)、電子的自旋和內(nèi)稟磁矩以及自旋軌道耦合等，并且預(yù)言了正電子的存在。不過(guò)，要進(jìn)一步說(shuō)明電子的反常磁矩、氫原子能級(jí)的蘭姆移位等實(shí)驗(yàn)結(jié)果，單電子的量子理論就無(wú)能為力了。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，把Dirac方程重新解釋為場(chǎng)方程，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行量子化，就能夠很好地描寫電子、質(zhì)子和中子這一類粒子的運(yùn)動(dòng)。| 長(zhǎng)按二維碼，關(guān)注公眾號(hào) | |
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