合流超幾何方程在數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中是一類(lèi)非常重要的、有代表性的微分方程。通常釆用在原點(diǎn)將方程的解展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法求解合流超幾何方程。

顯然，原點(diǎn)是合流超幾何方程的奇點(diǎn)，但是，容易驗(yàn)證，這個(gè)奇點(diǎn)是正則奇點(diǎn)。根據(jù)正則奇點(diǎn)的鄰域的求解原則將解展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個(gè)冪級(jí)數(shù)是一個(gè)普通的泰勒級(jí)數(shù)。按照級(jí)數(shù)展開(kāi)求解微分方程的方法得到的解是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，稱(chēng)為合流超幾何函數(shù)。

然而，容易驗(yàn)證，在一般情況下，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)是指數(shù)式發(fā)散的，這導(dǎo)致波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處不滿足有限性的要求。為了得到一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處滿足物理要求的解，必須將合流超幾何函數(shù)截?cái)喑啥囗?xiàng)式。