26 歲的 Jared Duker Lichtman 證明了一個長期猜想，將素數(shù)與一大類“本原”數(shù)字集合關(guān)聯(lián)起來。對他的導(dǎo)師來說，這令人“徹底震驚”。

本原集（primitive sets）是一種數(shù)列，其中的數(shù)字都不整除任何其他數(shù)字。在這些集合的宇宙中，素數(shù)是獨一無二的。

作者：Jordana Cepelewicz 2022-6-6 譯者：zzllrr小樂 2022-6-7

作為算術(shù)的原子，素數(shù)在數(shù)軸上一直占據(jù)著特殊的位置?，F(xiàn)在，牛津大學(xué) 26 歲的研究生Jared Duker Lichtman解決了一個眾所周知的猜想，確立了素數(shù)特殊的另一個方面——在某種意義上，甚至是最優(yōu)的。“它為你提供了一個更大的背景，以了解質(zhì)數(shù)在哪些方面是獨一無二的，以及它們以何種方式與更大的數(shù)字集相關(guān)聯(lián)，”他說。

該猜想涉及本原集合——數(shù)列中沒有數(shù)字可以整除任何其他數(shù)字。由于每個素數(shù)只能被 1 和它自己整除，所以所有素數(shù)的集合就是本原集合的一個例子。恰好有兩個或三個或一百個素因子的所有數(shù)字的集合也是如此。

本原集是由數(shù)學(xué)家 Paul Erd?s 在 1930 年代引入的。當(dāng)時，它們只是一種工具，使他更容易證明某種起源于古希臘的數(shù)字（稱為完美數(shù)perfect numbers）。但它們很快就成為人們感興趣的對象——Erd?s 在他的整個職業(yè)生涯中都會一次又一次地回到這些對象。

那是因為，盡管它們的定義很簡單，但本原集合確實是奇怪的野獸。只需詢問本原集合可以達(dá)到多大，就可以捕捉到這種奇怪之處。考慮最大為 1,000 的所有整數(shù)的集合。從 501 到 1,000 的所有數(shù)字——集合的一半——形成一個本原集合，因為沒有一個數(shù)字可以被任何其他數(shù)字整除。通過這種方式，本原集可能包含大塊的數(shù)軸。但是其他本原集合，例如所有素數(shù)的序列，非常稀疏?！八嬖V你，本原集確實是一個非常廣泛的類別，很難直接掌握，”Lichtman 說。

為了捕捉集合的有趣屬性，數(shù)學(xué)家研究了各種大小的概念。例如，與其計算一個集合中有多少個數(shù)字，他們可能會執(zhí)行以下操作：對于集合中的每個數(shù)字n，將其代入表達(dá)式 1/( n  log  n )，然后將所有結(jié)果相加。例如，集合 {2, 3, 55} 的大小變?yōu)?1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。

Erd?s 發(fā)現(xiàn)對于任何本原集（包括無限集）這個和——“Erd?s 和”——總是有限的。無論本原集是什么樣子，它的 Erd?s 和總是小于或等于某個數(shù)字。因此，盡管這個總和“至少從表面上看是完全陌生和模糊的”，Lichtman 說，但它在某些方面“控制了一些本原集合的混亂”，使其成為使用合適的量尺。

拿著這根量尺，下一個自然要問的問題是最大的Erd?s和可能是多少。Erd?s 推測對于素數(shù)集而言，結(jié)果約為 1.64。通過這個鏡頭，素數(shù)構(gòu)成了一種極端。

Jared Duker Lichtman 稱這個問題是他“過去四年的忠實伙伴”。

幾十年來，數(shù)學(xué)家在證明方面取得了部分進(jìn)展。例如，他們證明了這個猜想對于特定類型的本原集是正確的。

盡管如此，“在 Jared 開始研究它之前，我們似乎并沒有真正接近它，”不列顛哥倫比亞大學(xué)從事相關(guān)問題研究的數(shù)學(xué)家Greg Martin說。András Sárk?zy是匈牙利 E?tv?s Loránd 大學(xué)的數(shù)學(xué)家，也是 Erd?s 的經(jīng)常合作者，他對此表示贊同?！斑@當(dāng)然看起來遙不可及，”他說。

Lichtman 于 2018 年開始研究本原集猜想，那是他在達(dá)特茅斯學(xué)院讀本科的最后一年?！拔伊⒖虒@個問題著迷了。像這樣的事情怎么會是真的，這非常神秘，”他說?！斑^去四年來，它一直是我的伴侶?！?/p>

2019 年，他和達(dá)特茅斯學(xué)院的導(dǎo)師Carl Pomerance發(fā)現(xiàn)本原集的 Erd?s和不能大于 1.78?！斑@并不太遙遠(yuǎn)，”Martin說?！皟H比素數(shù)猜想大 10% 左右?！?/p>

Lichtman 和 Pomerance 通過將一個新的倍數(shù)序列與給定本原集合中的每個數(shù)字相關(guān)聯(lián)來獲得這個常數(shù)。再次考慮本原集 {2, 3, 55}。與數(shù)字 2 相關(guān)聯(lián)的是所有偶數(shù)的序列。與數(shù)字 3 相關(guān)聯(lián)的是所有那些不是 2 的倍數(shù)的 3 的倍數(shù)（滿足最小素因數(shù)是3）。與數(shù)字 55 (5 × 11) 相關(guān)聯(lián)的是最小素因數(shù)為 11 的所有 55 的倍數(shù)（因此不包括 2 、3、5、7的所有倍數(shù))。Lichtman 將其比作單詞在字典中的索引方式——僅使用素數(shù)而不是字母來組織每個序列。

然后，他和 Pomerance 思考了這些倍數(shù)序列有多“密集”——也就是說，它們占據(jù)了多大部分的數(shù)軸。（例如，所有偶數(shù)的序列的密度為 1/2，因為偶數(shù)占所有數(shù)字的一半。）他們觀察到，如果原始集合是本原集合，則其相關(guān)的倍數(shù)序列不會重疊，因此它們的組合密度最多為 1——所有整數(shù)的密度。

這一觀察是相關(guān)的，因為 19 世紀(jì)數(shù)學(xué)家Franz Mertens的定理基本上允許 Lichtman 和 Pomerance 根據(jù)這些密度重新解釋本原集的 Erd?s 和。根據(jù) Mertens 定理，一個特殊的常數(shù)（大約等于 1.78），當(dāng)乘以一個相當(dāng)于這些倍數(shù)的組合密度的項時，給出了一個本原集的 Erd?s 和的最大值。并且由于組合密度最多為 1，Lichtman 和 Pomerance 證明了本原集的 Erd?s 和最多為 1.78 左右。

“這是 Erd?s 最初想法的一種變體，但它是一種非常巧妙、簡潔的方法……獲得了一個不嚴(yán)格但也不算太差的上限，”牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)家James Maynard說。

幾年來，這似乎是最好的數(shù)學(xué)家可以做到的。目前尚不清楚如何將該最大值降至 1.64。與此同時，Lichtman 畢業(yè)并搬到牛津與 Maynard 一起攻讀博士學(xué)位，在那里他主要研究與素數(shù)有關(guān)的其他問題。

“我知道他一直在考慮這個問題，”Maynard說，“但他突然想出一個完整的證明，令人大為震驚?！?/p>

Lichtman 首先意識到，對于素因數(shù)相對較小的數(shù)字，他先前與 Pomerance 的結(jié)論仍然有效：在這種情況下相對簡單地可證明，常數(shù) 1.78 可以降低到1.64以下。

但是具有相對較大素因數(shù)的數(shù)字——在某種意義上“接近”素數(shù)——是另一回事。為了解決這些問題，Lichtman 找到了一種方法，不僅可以將一個倍數(shù)序列與每個數(shù)字相關(guān)聯(lián)，還可以將多個序列關(guān)聯(lián)起來。和以前一樣，所有這些序列的組合密度最多為 1。但這一次，“這些其他倍數(shù)會像雜草一樣生長并占據(jù)一些空間，”Lichtman 說。

取數(shù)字 618 (2 × 3 × 103)。通常，你可能會將其最小素因數(shù)為 103 的所有 618 的倍數(shù)與它相關(guān)聯(lián)。但可以使用一些被省略的較小素因數(shù)來構(gòu)建序列。例如，一個序列可能由所有原始倍數(shù)組成，同時也允許被 5 整除的 618 的倍數(shù)。（一些限制規(guī)定可以使用哪些較小的素因數(shù)。）

這些額外倍數(shù)的存在意味著本原倍數(shù)的組合密度——Mertens 定理中使用的數(shù)量——實際上小于 1。Lichtman 找到了一種方法來更精確地確定該密度可能是多少。

然后，他仔細(xì)確定了本原集合的最壞情況可能是什么樣的：它將在具有大素因數(shù)的數(shù)字 和 具有小素因數(shù)的數(shù)字之間取得什么平衡。通過將他的證明的兩個部分拼湊在一起，他能夠證明這種情況下的 Erd?s 和小于 1.64。

“這是關(guān)鍵時刻，”Maynard說?！拔也恢朗沁\氣還是什么，從數(shù)字上來說已經(jīng)足夠了。”

Lichtman于 2 月在網(wǎng)上發(fā)布了他的證明

（https:///abs/2202.02384）

在線論文pdf https:///pdf/2202.02384.pdf

數(shù)學(xué)家指出，這項工作特別引人注目，因為它完全依賴于初等證明。“他并不是在等待所有這些瘋狂的機器開發(fā)出來，”Thompson說?！八皇怯幸恍┓浅Ｂ斆鞯南敕?。”

這些想法現(xiàn)在鞏固了素數(shù)在本原集合中的特殊性：它們的 Erd?s 和至高無上?！拔覀兌颊J(rèn)為素數(shù)很特別，”Pomerance 說?！斑@只會增加它們的光彩?！?/p>