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彈簧振子的受力分析：只要振子偏離平衡位置，就會受到一個指向平衡位置的力，偏得越厲害，這個力越大，將此力命名為回復力。結合胡克定律：可得這個回復力的表達式為：F=-kx。符號的涵義應特別注意，這個式子是一個矢量表達式，振子受到的回復力總跟位移的方向相反。從回復力角度給簡諧運動又下了一個定義。F=-kx回復力滿足這個特點，這種運動就是簡諧運動。現(xiàn)在和上節(jié)內容及以前學過的內容聯(lián)系一下。上一節(jié)這個式子：x＝Asin（ωt＋φ）和以前學過的x=vt；x=v0t+at2/2，有本質區(qū)別嗎？就是數(shù)學函數(shù)表達式不一樣，都表示位移時間的函數(shù)關系。x=vt，將x對時間求兩次導就是加速度，可得加速度為零，據(jù)牛頓第二定律可得物體所受合力為零。x=v0t+at2/2，將x對時間求兩次導就是加速度，可得加速度為a，據(jù)牛頓第二定律可得物體所受合力為ma，a恒定，所以物體所受的合力恒定。x＝Asin（ωt＋φ），將x對時間求兩次導就是加速度，可得加速度為a=-ω2x，據(jù)牛頓第二定律可得物體所受合力為F=-mω2x，，所以物體所受的合力大小與位移大小成正比，與位移方向相反。與F=-kx對比，k=mω2，ω=2π/T，可推導得： ，振子質量越大，周期越大；彈簧勁度系數(shù)越大，周期越小。從運動學特點，結合數(shù)學知識和牛頓運動定律，可以推導出受力特點。與從實際受力分析的結論保持一致。從數(shù)學求導的運算中還可得知：位移與時間為正弦函數(shù)的情況下，振子的速度、回復力都與時間成正弦函數(shù)關系，只不過相位不同。下面從能量角度分析彈簧振子。從平衡位置向最大位移處運動時，振子的速度減小，彈簧的彈性勢能增大，理想情況下，沒有其他形式的能量參與轉化，對彈簧振子來說，系統(tǒng)的機械能守恒。x的大小恰好為彈簧振子的形變量，可得彈簧的彈性勢能為Ep=kx2/2，帶入x表達式可得：上邊得出：k=mω2，Ek+Ep=kA2/2，這個式子要仔細看一下，就會發(fā)現(xiàn)恰好是振子到了最大位移處時彈簧的最大彈性勢能，此時振子的動能為零，全部機械能表現(xiàn)為彈簧的勢能。同時可發(fā)現(xiàn)kA2/2=mA2ω2/2，mA2ω2/2這一項恰好為振子處于平衡位置時振子的動能，此時彈簧的彈性勢能為零。Ek+Ep=kA2/2=mA2ω2/2，彈簧振子在任意時刻的動能和勢能總和不變，總等于最大彈性勢能或最大動能。掌握了求導這個數(shù)學工具，能用積分求解變力做功，本節(jié)的內容就可從理論上進行推導，定性的分析就可轉化為定量的計算。將數(shù)學的微積分和高中物理簡單結合一下，可以幫助理解好多概念和規(guī)律，許多定性的問題就可轉化為定量問題。
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