引言開展鋼筋混凝土構(gòu)件或鋼-混凝土組合構(gòu)件在壓彎荷載作用下的受力分析（即我國規(guī)范里的“正截面分析”），離不開混凝土的單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。這些構(gòu)件里的混凝土一般都受到箍筋、鋼管或其他部件的約束，因此正截面分析采用的混凝土單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系必須包含約束作用對軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響，也就是說，正截面分析采用的混凝土單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系實(shí)際上是三軸應(yīng)力狀態(tài)下的混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。建立約束混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的一般流程是這樣的：（1）建立峰值點(diǎn)應(yīng)力fcc和峰值點(diǎn)應(yīng)變εcc的計(jì)算公式。這些公式通常把fcc/fc0和εcc/εc0表示成fle/fc0的函數(shù)，其中fc0和εc0分別是無約束混凝土的峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變，fle是有效約束應(yīng)力。實(shí)際構(gòu)件中的約束應(yīng)力分布往往是不均勻的，比如矩形截面的鋼筋混凝土柱和鋼管混凝土柱，如下圖所示；即使是圓形截面的柱子，在壓彎荷載作用下，約束應(yīng)力的分布也是不均勻的；因此，截面不同位置處的軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是不一樣的。但為了分析方便，我們通常用有效約束應(yīng)力fle來代表非均勻約束的平均約束效果，非均勻分布的軸向應(yīng)力也用平均軸向應(yīng)力來等效，由此得到的平均軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系通常被稱為等效單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。（2）定義應(yīng)力-應(yīng)變曲線的上升段和下降段函數(shù)。主動(dòng)約束和采用鋼部件（如鋼筋、鋼管）約束的混凝土的軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線一般都存在下降段，F(xiàn)RP約束混凝土的軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線一般會(huì)呈現(xiàn)應(yīng)變硬化的特征。本文討論的對象主要是前者，關(guān)于后者的研究，推薦大家閱讀楊家琦和馮鵬老師的文章。混凝土研究歷史上出現(xiàn)過不少描述混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的函數(shù)（本構(gòu)函數(shù)），過鎮(zhèn)海老師的《鋼筋混凝土原理》和Change與Mander（1994）的研究報(bào)告里都有比較系統(tǒng)的總結(jié)。但大浪淘沙，現(xiàn)在我們常見的本構(gòu)函數(shù)主要就剩下Popovics（1973），Tsai（1988）和Sargin（1971）提出的這3個(gè)。在考察這三個(gè)函數(shù)之前，我們先來看下約束混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變（σc--εc）曲線的一些基本特征：（1）應(yīng)變?yōu)?時(shí)的切線斜率為混凝土初始彈性模量Ec；（2）應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段的切線斜率Et隨著應(yīng)變的增大而降低，峰值點(diǎn)處的切斜斜率為0；（3）下降段一般存在一個(gè)殘余強(qiáng)度，或者說，在加載后期，隨著應(yīng)變的增加，混凝土應(yīng)力下降不明顯。一個(gè)合理的本構(gòu)函數(shù)應(yīng)該滿足以上三個(gè)條件。為使函數(shù)形式看起來簡單，在下面的函數(shù)表達(dá)中，我們統(tǒng)一令0MPa為例，對應(yīng)的εc0和Ec值可分別取為0.002和30GPa，由此算得的r值為2；隨著混凝土強(qiáng)度的提高，Ec和Esec都會(huì)增大，但Esec的增長速度比Ec快，因此r值會(huì)相應(yīng)增大。對于約束混凝土，εcc/εc0的值通常比fcc/fc0的值大不少，也就是說，相比無約束混凝土，約束混凝土的Esec值會(huì)減小，相應(yīng)的r 值也會(huì)減小，但r 值肯定不會(huì)降到1以下。總結(jié)一下，r值會(huì)隨著混凝土強(qiáng)度的提高而增大，隨著約束程度的提高而減小。接下來，我們看下r 值對應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀的影響（圖3）?？梢钥吹?，r值會(huì)同時(shí)影響上升段和下降段。隨著r 值的增大，下降段曲線會(huì)更陡，也就是混凝土的延性會(huì)更差，這和前面講的r 值隨混凝土強(qiáng)度和約束程度的變化在趨勢上是一致的。段的切線斜率Et逐步減小，在峰值點(diǎn)處降為0，滿足前面所講的混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線的第2個(gè)特征。另外，我們可以看到，r 值會(huì)影響Et減小的方式（是剛開始減小的快，還是接近峰值時(shí)減小的快）。 很多人把Popovics函數(shù)稱作Mander函數(shù)，這主要是Mander（1988）的論文太出名了。實(shí)際上，Mander在論文里明確指出了這個(gè)函數(shù)形式是由Popovics（1973）提出的。Mander在1988年的論文里用這個(gè)函數(shù)來描述約束混凝土的全過程應(yīng)力-應(yīng)變曲線，但在1994年的報(bào)告里，他承認(rèn)這樣做不能得到跟實(shí)驗(yàn)吻合的下降段曲線。原因是比較明顯的，因?yàn)?em style="margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word !important;">r值完全是由上升段確定的，相當(dāng)于上升段一確定，下降段也就定了，實(shí)際情況肯定要比這個(gè)復(fù)雜，更何況存在各種不同的約束情況。 Tsai函數(shù)這是Popovics函數(shù)的進(jìn)階版，函數(shù)形式如下：
式中，n和p是兩個(gè)待定參數(shù)。令n=p/(p-1)，上式就退化成了Popovics函數(shù)。Tsai函數(shù)的一階導(dǎo)為同樣地，令應(yīng)變?yōu)?時(shí)的切線模量等于混凝土初始彈性模量Ec，可得到基于前面的分析，可以知道n 值隨著混凝土強(qiáng)度的提高而減小，隨著約束程度的提高而增大。下面我們看下n 和p 的值對應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀的影響（圖5）?？梢钥吹?，n 和p 都會(huì)影響上升段和下降段。隨著n 值的減小，下降段曲線會(huì)更陡，也就是混凝土的延性會(huì)更差，這和n 值隨混凝土強(qiáng)度和約束程度的變化在趨勢上是一致的。隨著p 值的增大，下降段曲線會(huì)更陡，且p 對下降段的影響較n 明顯。所以，可以用p 值來調(diào)節(jié)下降段，使公式得到的曲線與實(shí)驗(yàn)曲線盡可能吻合。這也是Change與Mander（1994）推崇Tsai函數(shù)的原因。圖5 n 和p 的值對應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀的影響但在考察過程中，我們也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)函數(shù)的問題。下圖是p 值對上升段切線斜率Et變化的影響?？梢钥吹剑?span style="margin: 0px;padding: 0px;outline-style: initial;outline-width: 0px;max-width: 100%;color: rgb(0, 82, 255);box-sizing: border-box ;overflow-wrap: break-word ;">當(dāng)n 和p 都比較?。ū热绶戒摴芨邚?qiáng)混凝土柱里的混凝土）時(shí)，上升段的切線斜率Et在加載前期會(huì)超過初始彈性模量Ec，這違背了前面講的混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線的第2個(gè)特征。所以，采用包含兩個(gè)參數(shù)的Tsai函數(shù)來描述約束混凝土的全過程應(yīng)力-應(yīng)變曲線也不是所有情況下都可行的。
式中，A和D是2個(gè)待定參數(shù)。如果取A=2，D=0，上式就退化成拋物線，也就是我國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》所采用的上升段函數(shù)（針對C50以下混凝土）。Sargin函數(shù)也被Sakino等人用來描述鋼管混凝土里的混凝土全過程軸向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。同樣地，令應(yīng)變?yōu)?時(shí)的切線模量等于混凝土初始彈性模量Ec，可得到當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，y趨向于(D-1)/D，這比較符合前面講的混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線的第3個(gè)特征，即下降段存在殘余強(qiáng)度。下面我們看下A和D的值對應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀的影響（圖7）?？梢钥吹剑m然A值是由上升段確定的，但它也會(huì)影響下降段；同樣地，D值對上升段也有一定影響。圖7 A和D的值對應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀的影響當(dāng)A值比較小時(shí)，Sargin函數(shù)存在與Tsai函數(shù)同樣的問題，如下圖所示。小結(jié)和建議（1）Popovics、Tsai和Sargin函數(shù)都可用來描述混凝土軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段和下降段的基本走勢。（2）采用帶2個(gè)參數(shù)的Tsai或Sargin函數(shù)描述約束混凝土的全過程應(yīng)力-應(yīng)變曲線的理想很美好，但現(xiàn)實(shí)并非那么理想。（3）2010規(guī)范中混凝土本構(gòu)關(guān)系曲線文檔下載增加待定參數(shù)數(shù)量肯定能得到與實(shí)驗(yàn)更吻合的曲線。因此，可以采用同一個(gè)函數(shù)形式來描述上升段和下降段，但采用兩套不同的參數(shù)值。以Sargin函數(shù)為例，上升段的2個(gè)參數(shù)值可以用初始彈性模量和某一應(yīng)力水平下的割線模量確定；下降段的兩個(gè)參數(shù)值可以根據(jù)殘余強(qiáng)度和某一應(yīng)變水平下的應(yīng)力值確定。
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