2022年高考數(shù)學(xué)全國卷I的下面這道概率題，相關(guān)知識掌握了，解起來就特別容易。如果相關(guān)知識沒有掌握，就幾乎沒有辦法解決。不過就算能夠輕易解決，想真正理解題目的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，還真不容易呢。

一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生慣不夠良好”？B表示事件“選到的人有該疾病”，P(B|A)/P(B逆|A)與P(B|A逆)/P(B逆|A逆)的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R.

(I)證明： R=(P(A|B)/P(A逆|B))·(P(A逆|A逆)/P(A|B逆));

(II)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B), P(A|B逆)的估計值，并利用(I)的結(jié)果給出R的估計值.

附：K^2=n(ad-bc)^2/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),

這次老黃先給解題過程，再來深挖問題中有趣的東西。

(1)解：K^2=200×(40×90-60×10)^2/((40+60)(10+90)(40+10)(60+90))=24>10.828,【注意a是主表中第一個數(shù)據(jù),a,d必須在對角線上，b,c也必須在對角線上】

∴有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異. 【對照附表中，10.828以上表示的，不僅有99%的把握，甚至有99.9%以上的把握，簡直可以說是絕對的了】

(2)(I)證明：P(B|A)=a/(a+c), P(B逆|A)=c/(a+c); P(B|A逆)=b/(b+d), P(B逆|A逆)=d/(b+d)，

R=(P(B|A)/P(B逆|A))/(P(B|A逆)/P(B逆|A逆))=(a/c)/(b/d)=ad/(bc).

又P(A|B)=a/(a+b), P(A逆|B)=b/(a+b); P(A逆|B逆)=d/(c+d), P(A|B逆)=c/(c+d);

∴(P(A|B)/P(A逆|B))·(P(A逆|B逆)/P(A|B逆))=(a/b)·(d/c)=ad/(bc)=R, 得證！

【第二個小題的第一個問題，肯定有人直接把各個概率都求出來，然后比較大小，從而得證。那樣也未嘗不可，因為那樣做的話，連第二個問題的答案也都求出來了】

(II)解： P(A|B)=40%, P(A|B逆)=10%.

R=(40%/60%)×(90%/10%)=6. 【或R=40×90/(60×10)=6. 用了第一個問中求R的兩個不同公式】

這道題想解決容易，想要理解就難了！它可能涉及到大學(xué)統(tǒng)計學(xué)的知識，偏偏這正是老黃當(dāng)年讀書的最弱項。不過老黃是一個不輕言放棄的人，老黃決定用自己的方式進行理解，不懂的小伙伴不要被老黃誤導(dǎo)，懂的朋友歡迎討論批評。要知道知識多數(shù)是從討論之中得到的！

首先，明確K^2的意義。它是對事件獨立性的檢驗，誰的獨立性？就是“患病概率”和“衛(wèi)生習(xí)慣”之間的獨立性。數(shù)值越小，獨立性越強，相關(guān)性越弱；數(shù)值越大，獨立性越弱，相關(guān)性越強。所以您要是想把它叫做“事件相關(guān)性檢驗”，老黃看也行！

至于這個K^2是怎么來的，那就說來話長了，其實老黃也不知道。只是感覺分子中的ad表示“沒有衛(wèi)生習(xí)慣就犯病”和“有衛(wèi)生習(xí)慣就不犯病”這兩件事情給相關(guān)起來了，而bc則表示“有衛(wèi)生習(xí)慣就犯病”和“沒有衛(wèi)生習(xí)慣就不犯病”這兩件事情給相關(guān)起來了，這不扯犢子嗎？因此用ad減去bc，想必很好理解了吧。

分母a+b表示犯病的病例組樣本總數(shù)，c+d表示對照組不犯病的樣本總數(shù)，a+c表示有衛(wèi)生習(xí)慣的總數(shù)，b+d表示沒有衛(wèi)生習(xí)慣的總數(shù)。這明顯就是沒有衛(wèi)生習(xí)慣的犯病相關(guān)性乘以有衛(wèi)生習(xí)慣與不犯病的相關(guān)性，表示整個研究對象和研究事件總體的相關(guān)性。

這么一理解，就可以看出，分子比分母表示的是正相關(guān)在總相關(guān)性中所占的比例。再乘以兩個樣本的總量，就能得到事件的相關(guān)性了。

您看老黃扯得合不合理。雖然老黃是瞎扯的，不過老黃有很多知識，都是通過這么瞎扯來的。接下來，老黃只要在實踐中慢慢檢驗自己的猜想，并與相關(guān)知識做比較，校正老黃的認知，就能把這個知識理解得比一般人深刻了。

其實老黃這里講的是一種學(xué)習(xí)的方法，不知道您看出來了沒有。

現(xiàn)在老黃要分析第(2)小題中的“R”到底是個什么玩意。

其中，P(B|A)表示不講究衛(wèi)生得病的概率；P(B逆|A)表示不講究衛(wèi)生不得病的概率。它們的比值，就是不講究衛(wèi)生的情況下，得病和不得病的概率比；P(B|A逆)則表示講究衛(wèi)生得病的概率；P(B逆|A逆)表示講究衛(wèi)生不得病的概率。它們的比表示講究衛(wèi)生的情況下，得病和不得病的概率比。兩個概率比的商，化成積的形式，就變成了，“不講究衛(wèi)生的情況下，得病和不得病的概率比”與“講究衛(wèi)生的情況下，不得病和得病的概率比”的積。這是啥玩意？

我們假設(shè)一下，這兩個概率比正好是互為倒數(shù)的，那么它們的積的結(jié)果正好等于1. 說明得不得病，和講不講究衛(wèi)生，根本沒有什么關(guān)系。但如果前者變大，就說明不講究衛(wèi)生得病的概率更高；后者變大，則表示講究衛(wèi)生不得病的概率更高。兩個同時變大，就得到“不講究衛(wèi)生得病的概率變大；講究衛(wèi)生不得病的概率變大”的結(jié)論。即R越大，兩者相關(guān)性越強。反之就扯蛋了。如果得到“不講究衛(wèi)生不得病的概率變大；講究衛(wèi)生得病的概率變大”，就不合理了。

最后來看(2)(I)中要證明相等的另一個表達式的含義，看看和上面分析的R的含義是否相同。

首先，P(A|B)表示生病的人不講衛(wèi)生的概率；P(A逆|B)表示生病的人講衛(wèi)生的概率。它們的比值，就是在生病的情況下，不講衛(wèi)生和講衛(wèi)生的概率比。另一方面，P(A逆|B逆)表示不生病的人講衛(wèi)生的概率；P(A|B逆)表示不生病的人不講衛(wèi)生的概率。它們的比值，就是在不生病的情況下，講衛(wèi)生還是不講衛(wèi)生的概率比。兩個概率比的積是“生病的情況下，是不講衛(wèi)生還是講衛(wèi)生的概率比”與“不生病的情況下，是講衛(wèi)生還是不衛(wèi)生的概率比”的積。這又是個啥玩意呢？

假如兩個概率比正好互為倒數(shù)，那么它們的積的結(jié)果正好等于1. 說明講不講衛(wèi)生，根本不會影響到生不生病的問題。但如果前者變大，就得到“生病的人不講衛(wèi)生的概率更大”；如果后者變大，就得到“不生病的人講衛(wèi)生的概率更大”。兩個同時變大，就得到“生病的人不講衛(wèi)生概率變大；不生病的人講衛(wèi)生的概率變大”的結(jié)論。即R越大，兩者相關(guān)性越強。反之就扯蛋了。如果得到“得病講究衛(wèi)生概率更大；不得病不講究衛(wèi)生概率更大”，就不合理了。

兩相一比較，它們講的不就是同一回事嗎？所以第(2)小題的證明題得證?？梢娎宵S也不是純瞎扯的哦。

所以說，這道題想解決容易，想理解難，您怎么看呢？