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昨天，“中考數學解題研究群”內，天元中學劉攀老師提供了一道定角定比的幾何最值題，大家分享自己的解法進行研討交流。今天，我從這道題，主要談談自己對“旋轉相似”的看法！另外，也分享一下自己向泰州羅進老師學習“托”的一點點心得。前段時間更新的公眾號內容，也有看到一些老師留言講內容很好，希望一直更新。公眾號的定位是“思考、總結、記錄、分享”，得空的時候，會更新自己的學習所得和教學分享。從群眾中來，到群眾中去。在自己成長的路上，能夠幫助到更多熱愛學習的老師，自然也是一份福德。今天的內容主要是自己的學習經驗之談，希望能夠對讀到這篇文章的讀者有所收獲，另外，自己也是在不斷學習的路上，文章不足之處，歡迎留言指正，也歡迎微信交流。需要進“中考數學解題研究群”的老師可以加我微信拉進群，相互交流學習！OK，首先，我們一起來看一下這道題：    定邊BC對定角∠BDC＝30°，以BC為邊界，靠近∠BDC稱為同側，另一側稱為異側，可在BC同側構造等邊三角形OBC，則點D在優(yōu)弧BDC上運動，如上圖1所示。倘若遇到其他定角，我們可按照下圖方式進行構造，從而尋找圓心，確定動點所在的輔助圓軌跡。   如上圖2，遇共點線段成定比，且有夾角固定，則可考慮旋轉放縮相似。即我們通常所講的手拉手或瓜豆。我們來看一下這類問題的基本結構，如下圖：  形如上面這類“三爪圖”的結構，可理解為旋轉相似的基本結構圖，那么我們如果構造輔助線呢？看下圖：  以“三爪”的公共端點為旋轉中心，我們可將定比線段以外的第三條線段順向旋轉定角α，也可逆向旋轉α，一轉成雙。由于上述條件中定線段AB與AC的比值為1，所以會出現全等。那么，倘若沒有遇到等線段呢？也就是如果鎖住定角的兩條共點線段的比值不是“1”呢？亦可旋轉變換，一轉成雙！我們接著往下看： 這類結構圖，我們可以按照和上述方法一樣進行順或逆旋轉，同時，還需將旋轉之后的線段同旋轉前的線段按照定線段的比值來放縮，即可得到相似，我理解為旋轉放縮相似：  通常情況下，貼合題目所求目標線段，我們同向旋轉構造相似的情形居多。亦可從手拉手的角度看待這類旋轉相似。特別注意，手拉手的方向性一致。清楚這些結構圖之后，我們再回頭看看文章開頭的這道題可以如何進行旋轉變換處理。細講之前，我放個圖，大家可以先嘗試一下：  當然，我們也可利用手拉手，轉換目標線段： 方法一和方法四，實質上是一樣的，共圖如下： 旋轉相似/視角二：定邊夾定角60° 從以上解法過程當中，我們不難發(fā)現，這是一個“主從聯動、定角定比”的瓜豆問題，種圓得圓。羅進老師曾總結過“圓生圓，必可托”，接下來，我們看一下如何用“托”來秒它，首先，我們先看一下托勒密不等式是如何證明的： 接下來，我們看一下本文前面所提及的這道題可以如何運用“托勒密”來秒： 在學習“托”的過程中，羅進老師總結過“托”的特點：如下圖，定形三角形ABC外一點D，若已知AD、DB、DC中任意兩條線段長，即可求第三條線段長的最值！ 能夠利用“托勒密”求最值的前提是：所求線段必須為某四點構成的凸四邊形的邊長或對角線的其中一條，且某三點構成的三角形必須是定形三角形，且除所求線段及定形三角形三邊外的剩余兩條線段長度已知！倘若不滿足上述前提，就需要我們通過構造。構造出滿足上述前提條件，才能運用托勒密求解。 回到本題，我們不難發(fā)現“三角形ABD定形”，但除了定形三角形ABD和目標線段AC外的兩條線段“CD”和“CB”當中，知知道CB＝1，按照“托哥”出場的前提，CD應該也要知道，這樣我們才能進行“托”，所以本題不能直接“托”。需要我們通過構造，從而間接“托”。 提供兩種構造的方法： 第一種：平行構造 第二種：對稱構造 我們先來看第一種：平行構造 在解題過程當中，我發(fā)現構造平行之后的基本圖和原題的基本圖有類似的地方： 類似的地方在于“兩個圖在結構上都是已知定型三角形，且除目標線段外的兩條線中，都是只知道其中一條線段的長度”，但為什么原題結構圖不能“托”，而構造平行之后可以“托”呢？我們來看一下： 上述“構造平行”的方法中，兩次取等時，EF取得最大值，此時點D、E、B、F四點共圓，滿足托勒密取最值時的條件。而若直接用原題圖，能否“托”呢？我們不妨試一下： 當CD取最大值時，此時點A、B、C、D四點不共圓，因此取不到最值。固不可直接用“托”。 接著我們再來看一下第二種構造方法：對稱構造 作點B關于CD對稱點B'得等邊三角形DBB'，連接DB'、BB'、AB'、CB'，進而知道∠ADB'＝150°，可求得AB長度，從而我們發(fā)現三角形ABB'為定形三角形，并且在凸四邊形ABCB'當中，除了目標線段AC和定形三角形ABB'外的兩條線段CB和CB'的長度我們都已知，完全符合我們前面所提到的運用“托勒密”求最值的前提條件。具體如下圖所示： 對于定邊定角定比的最值問題，以前也發(fā)過一篇文章，但 當時只寫了大家研討的解法過程，沒有闡述清楚為什么可以這樣想這樣處理?？戳私裉爝@篇文章之后，大家應該能夠有些收獲，不妨可以回頭看看那道題，看看你能想到幾種構造旋轉相似的方法？ 本文這道題是一道單線段最值問題，提到的托勒密定理，不僅僅可秒這類單線段最值。由于個人能力有限，對于“托”哥英姿形象描述不夠透徹，若想更深入學習，可參考羅進老師對“托哥”的總結，娓娓道來，闡述得很細膩，值得學習。 END '小巧一題一法，固不應有效提倡。大巧法無定法，也確定太難。我提倡中巧，就是能夠解決一類問題的算法或模型。” ------張景中院士 |
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