這是老黃見(jiàn)過(guò)的一道比較特別的中考數(shù)學(xué)壓軸題，解法也是相當(dāng)獨(dú)特的，一般人恐怕很難想到。出題人還挺暖心的，給考生做了充足的引導(dǎo)。題目是這樣的：

如圖1,在Rt△ACB，∠ACB=90度，CA=6，CB=8，點(diǎn)E是中線(xiàn)CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊CB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P,C不重合），點(diǎn)F,C關(guān)于直線(xiàn)AP成軸對(duì)稱(chēng)，連結(jié)DF,EF. 小明為了研究點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DF, EF之間的大小關(guān)系，借鑒了函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)PC=x, DF=y1, EF=y2, 并利用幾何畫(huà)板畫(huà)出如圖2所示的y1,y2關(guān)于x的函數(shù)圖像，且這兩條函數(shù)圖像的交點(diǎn)M的坐標(biāo)約為(2.08,1.73).

(1)求圖1中DE的長(zhǎng).

(2)寫(xiě)出圖2中的點(diǎn)M的實(shí)際意義及a的值.

(3)結(jié)合圖像，寫(xiě)出點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等腰三角形DEF的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

(4)當(dāng)y2=DE時(shí)，求x的值.

解：(1)AB=根號(hào)內(nèi)(CA^2+CB^2)=10，CD=AB/2=5, DE=CD/2=2.5.【送分題，沒(méi)什么好說(shuō)的，不過(guò)這個(gè)結(jié)論卻關(guān)系到下面幾個(gè)問(wèn)題】

(2)點(diǎn)M表示，y1=y2, 即DF=EF時(shí)的情形.

此時(shí)△DEF是等腰三角形. 【這個(gè)結(jié)論也是第(3)小題所需要的一種情形】

a點(diǎn)表示點(diǎn)P，B重合，a=PC=CB=8.【這里出題人暗示了，解這道題，讀圖能力的重要性，解第(3)小題，如果沒(méi)有在這里得到啟發(fā)，將會(huì)變得超級(jí)難】

(3)等腰三角形DEF有4個(gè)，理由如下：【如果要把四種情形都推出來(lái)，無(wú)異于“自尋絕路”，中考現(xiàn)場(chǎng)根本不可能做到，因此，我們要在圖像中找到解決的辦法。千萬(wàn)不要用待定系數(shù)法去求函數(shù)的解析式，因?yàn)檫@兩個(gè)圖像都不是我們常用的函數(shù)的圖像】

圖2中，直線(xiàn)y=2.5與曲線(xiàn)y1=DF有2個(gè)交點(diǎn),【M點(diǎn)的縱坐標(biāo)保證了這兩個(gè)交點(diǎn)的存在，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，還要求當(dāng)x=8時(shí)，y1的值，或證明此時(shí)y1(8)>2.5】

代表有2個(gè)△DEF，使DF=DE，

直線(xiàn)y=2.5與y2=EF(x≠0)有1個(gè)交點(diǎn),【y軸上的交點(diǎn)是點(diǎn)P, C重合的情形，要排除. 因?yàn)閥2(8)>y1(8)，所以不需要求y2(8)的值，也不需要證明y2(8)>2.5，除非y1(8)<2.5。不過(guò)題目說(shuō)：“利用幾何畫(huà)板畫(huà)出如圖2所示”，證明這個(gè)圖是絕對(duì)準(zhǔn)確的，所以老黃覺(jué)得并不需要進(jìn)行這方面的證明】

代表有1個(gè)△DEF，使EF=DE，

加上(2)中的等腰三角形DEF，一共有4個(gè). 【圖2還保證了第(4)小題，可以采用比較高效的解法】

(4)當(dāng)A,E,P在同一直線(xiàn)上時(shí)，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)有，y2=EF=CE=DE=CD/2，【如果反過(guò)來(lái)，由后面的結(jié)論反推A,E,P在同一直線(xiàn)上，會(huì)變得異常困難。而這里之所以可以這樣設(shè)，也是建立在EF=DE的等腰三角形DEF只有一個(gè)的基礎(chǔ)上的，如果有兩個(gè)以上，那么就還要考慮其它情形】

聯(lián)結(jié)CF，則CF⊥AP, 且∠CFD=90度，∴DF//AP,

延長(zhǎng)DF交BC于Q，則在△BAP中，BQ=PQ，在△CDQ中，CP=PQ，

∴CP=BC/3, 即x=8/3. 【最后注意檢驗(yàn)，結(jié)果要大于M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)闈M(mǎn)足條件的點(diǎn)在M點(diǎn)的右側(cè)?！?/p>

您覺(jué)得這道題怎么樣呢？