2021年浙江麗水中考數學的這道壓軸題，對作圖的能力要求很高，不把圖形作出來，恐怕解不了。這是一道矩形上的動點，和直角三角形的存在性問題。題目是這樣的：

如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的一個動點，連結BE，作點A關于BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內部，連結AF，BF，EF，過點F作GF⊥AF交AD于點G，設AD/AE=n.

(1)求證：AE=GE；

(2)當點F落在AC上時，用含n的代數式表示AD/AB的值；

(3)若AD=4AB，且以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值.

這道題要充分利用A，F關于BE對稱的關系，事實上，三角形AEB和三角形FBE也是關于BE對稱的。幾何壓軸題的第(1)小題，往往都沒有拋物線問題的第(1)小題那么簡單，需要有比較好的邏輯思維能力。

證明：(1) ∵A, F關于BE對稱，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，

∵GF⊥AF，∴∠EFG=90度-∠AFE=90度-∠EAF=∠AGF，【這個等式含有比較大的信息量，既有互為鄰補角的定義，又也有等量替換，還有直角三角形兩個銳角互余定理的運用】

∴GE=EF，∴AE=GE.

第(2)小題幾乎無法通過單純推理得到最后的結果。只能摸著石頭過河，通過求AE和AB之間的關系，去推算。最后有點“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。

解：(2)如圖，當F落在AC上時，∠ACB=∠GAF, Rt△ABC∽Rt△GFA，【因為原圖不準確，有必要的話，可以自己重新畫一個圖?！?/p>

又BE⊥AF，GF⊥AF，∴BE//GF,∴∠AEB=∠FGA，∴Rt△EAB∽Rt△GFA，

∴Rt△ABC∽Rt△EAB，【相似有也類似相等的替換定理。與同一個三角形相似的兩個三角形也相似】

∴AB/AE=BC/AB=AD/AB，即AE=AB^2/AD，AD/AE=AD^2/AB^2 =n,

∴AD/AB =根號n.【這個結果有點出乎老黃的意料】

由于原題提供的圖形和第(3)小題的題意出入較大，所以一定要自己作圖，否則很有可能會得出錯誤的結論。首先，第(2)小題其實是滿足第(3)小題的一種情形。

(3)(2)中∠CFG=90度, AD/AB=根號n=4, n=16;

當∠CGF=90度時, 如圖2, ∠DGC=∠GAF, 【如果在題目給的原圖上作圖，會錯誤地發(fā)現這兩個角不可能相等。】

∴Rt△CDG∽Rt△GFA∽Rt△EAB ，∴CD/AE=DG/AB=(AD-2AE)/AB，

即AD/(4AE)=4(AD-2AE)/AD，化得：AD^2-16AE·AD+32AE^2=0，

解得：AD=8+4根號2 AE或AD=8-4根號2AE(舍去)，【當AD=8-4根號2AE時，F點在矩形ABCD外部】

∴n=AD/AE=8+4根號2.

當∠FCG=90度時,當且僅當點G與D重合，且點F在BC上時成立, 如圖3.【其實這種情形下，點F一定在矩形ABCD外部】

則Rt△CFG∽Rt△BAF, ∴CF/AB=CD/BF,

又AB=BF=CD，∴CF/AB=1, CF=AB, AD=BC=CF+BF=2AB, 矛盾！【事實上，證明矛盾的方法有很多】

∴n=16或8+4根號2.

從初一開始，學生就要有意識地練習作圖能力。作圖能力對中考數學的幫助是很大的。