• 半單代數(shù)上的單模
• 半單代數(shù)的中心
• Artin-Wedderburn定理

在本章中，指代一個(gè)有限維代數(shù)。

引理 2.1

設(shè)是上的單模。則每個(gè)模同態(tài)要么是零映射，要么是模同構(gòu)。

由模的第一同構(gòu)定理和單模的定義顯然。

引理 2.2

每個(gè)循環(huán)模都同構(gòu)于左正則模的一個(gè)商模：若，則，其中。

模同態(tài)，是滿射。由模的第一同構(gòu)定理，有

注意到每個(gè)上的單模都是循環(huán)模，因此以上引理說(shuō)明每個(gè)單模都同構(gòu)于左正則模的一個(gè)商模。

定理 2.3 Schur引理

設(shè)是代數(shù)閉域，是上的單模。則每個(gè)上的模自同態(tài)都是一個(gè)標(biāo)量乘法。即對(duì)于，存在使得對(duì)任意，有。特別地，有.

由引理2.2，同構(gòu)于的一個(gè)商模。于是是上的有限維向量空間。設(shè)，則是上的線性變換。由于是代數(shù)閉域，有本征值。于是有非平凡零空間，因此不是同構(gòu)。由引理2.1，。故。

半單代數(shù)上的單模

命題 2.4

設(shè)是域上的有限維半單代數(shù)。上的左單模在同構(gòu)意義下只有有限多個(gè)。

將能分解成單子模的直和：

設(shè)是一個(gè)單模。固定。設(shè)模同態(tài)由給出。設(shè)。直和分解式, 給出了的分解：

由于非零，至少有某個(gè)非零。由引理2.1，是模同構(gòu)。于是同構(gòu)于中的一個(gè)單模。故上的單模在同構(gòu)意義下只有有限多個(gè)。

接下來(lái)我們研究作為環(huán)的冪等元。

定義 2.5 環(huán)的中心，冪等元

稱為的中心。它是的一個(gè)雙邊理想。

若滿足，則稱之為的一個(gè)冪等元；若，則稱之為中心冪等元。若冪等元滿足，則稱他們是正交的。

命題 2.6

設(shè)是域上的有限維半單代數(shù)。則存在一組正交的冪等元使得

設(shè)能分解成單子模的直和：

將單位元沿著該直和分解：

注意到從直和的性質(zhì)出發(fā)有

故是一組正交冪等元。對(duì)于，根據(jù)直和，有

故。而顯然，因此，有

命題 2.7

設(shè)是域上的有限維代數(shù)。是半單代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)上的左正則模是完全可約的。

必要性顯然成立，下面證充分性。

設(shè)上的左正則模是完全可約的。注意到命題2.6的證明只用到了左正則模的完全可約性。于是能將的單位元分解成正交冪等元的和：

設(shè)是一個(gè)左模。任取的單子模，由Zorn引理存在一個(gè)的極大子模滿足。我們要證。如不然，則存在使得。注意到

因此存在使得。注意到，是模滿同態(tài)。由引理2.1，有模同構(gòu)。是單模。于是，即，這與的極大性矛盾。于是是完全可約的。

半單代數(shù)的中心

現(xiàn)在我們固定為上的一個(gè)有限維半單代數(shù)。令為（互不同構(gòu)的）全部的單模。我們固定左正則模的一個(gè)直和分解：

其中是的單子模，因此是一組正交冪等元。注意到由模的Jordan-H?lder定理，這個(gè)直和分解在置換的意義下是唯一的。此外，每個(gè)，因?yàn)槊總€(gè)單模都同構(gòu)于的一個(gè)子模。

引理 2.8

是作為環(huán)的雙邊理想。

由定義是的子模，因此是左理想。只要證它們是右理想。固定，考慮?？紤]沿著前述直和的投影，以及模同態(tài)，。對(duì)，有

對(duì)，模同態(tài)是零映射，因?yàn)?/span>以及引理2.1。因此

故是的右理想。

推論 2.9

，其中是的單模的個(gè)數(shù)。

設(shè)。由于是的雙邊理想，是一個(gè)中心冪等元。于是是一組正交中心冪等元。特別地它們?cè)?/span>上線性無(wú)關(guān)。故。

定理 2.10

設(shè)是代數(shù)閉域。則，其中是的單模的個(gè)數(shù)。

由推論2.9，只要證。由Schur引理，每個(gè)在上的作用都等價(jià)于一個(gè)標(biāo)量。由此給出的代數(shù)同態(tài)，稱為中心特征標(biāo)。相應(yīng)地，我們也能定義線性映射，。對(duì)，有

因此是單射。有。

命題 2.11

設(shè)是有限群。是的全部共軛類。對(duì)共軛類，定義共軛類和

則是作為向量空間的一組基。因此有。

先證。對(duì)，，是一個(gè)雙射。于是

把上式線性地?cái)U(kuò)展到上即可。

由于共軛類不交，線性無(wú)關(guān)，只要證它張成。對(duì)于，注意到

因此。特別地，對(duì)于共軛的有。故張成：

結(jié)合定理2.10和命題2.11可知，代數(shù)閉域上有限群既約表示的個(gè)數(shù)恰好等于的共軛類的個(gè)數(shù)。

Artin-Wedderburn定理

命題 2.12

每個(gè)都是帶有單位元的環(huán)。有環(huán)同構(gòu)：

更進(jìn)一步，每個(gè)都是上的半單代數(shù)，有唯一的單模。

由引理2.8，是雙邊理想，其上的冪等元是中心冪等元，并且有對(duì)于所有成立。于是是含幺環(huán)。（但注意不是的含幺子環(huán)，因?yàn)?/span>）那么給出了環(huán)同構(gòu)。

固定，考慮的一個(gè)子模。有

因?yàn)閷?duì)，。于是也是模，因此或，故是單模。因?yàn)?/span>且，是半單代數(shù)。因此由命題2.4的證明，是上的唯一單模。

命題 2.13

設(shè)是上的半單代數(shù)，有唯一的單模。若，則有代數(shù)同構(gòu)，其中是一個(gè)除環(huán)。

首先我們證環(huán)同構(gòu)：對(duì)，定義左乘，。容易驗(yàn)證是從到的環(huán)同構(gòu)。

有模同構(gòu)，考慮嵌入和投影。定義如下：

容易驗(yàn)證這是個(gè)環(huán)同構(gòu)。最后有

定理 2.14 Artin-Wedderburn定理

設(shè)是域上的有限維半單代數(shù)。則存在除環(huán)和使得存在如下的代數(shù)同構(gòu)：

推論 2.15 代數(shù)閉域上的Artin-Wedderburn定理

設(shè)是代數(shù)閉域上的有限維半單代數(shù)。則存在使得存在如下的代數(shù)同構(gòu)：

由Schur引理，有代數(shù)同構(gòu)。在命題2.13的代數(shù)同構(gòu)中，我們更進(jìn)一步有

于是

利用Artin-Wedderburn定理，可以研究代數(shù)閉域上的既約表示的結(jié)構(gòu)。

引理 2.16

矩陣環(huán)是半單代數(shù)，其上唯一的單模同構(gòu)于。有左理想直和分解：

其中只有第個(gè)元素為，其余元素為。每個(gè)左理想都模同構(gòu)于。

由線性代數(shù)知識(shí)易證。

定理 2.17

設(shè)是代數(shù)閉域，且。設(shè)是全部互不同構(gòu)的上的單模。則有模同構(gòu)：

特別地，有。

由Maschke定理，是半單代數(shù)。由Artin-Wedderburn定理，有代數(shù)同構(gòu)

其中每個(gè)都是單代數(shù)，有唯一的單模，由引理2.16有模同構(gòu)。因此。于是有模同構(gòu)

特別地，。