意大利科學(xué)家伽利略曾說“自然這部大書只能被那些通曉其中所寫語言的人閱讀，這種語言正是數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)究竟是什么？數(shù)學(xué)有什么用？是什么讓足球比賽出現(xiàn)在屏幕上？我們?nèi)绾晤A(yù)測天氣、股票市場？它們背后又與數(shù)學(xué)有怎樣的關(guān)聯(lián)？在《數(shù)學(xué)的語言：化無形為可見》中，這些問題得到了全面的探討與解答。數(shù)學(xué)，是一切科學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。唯有借助數(shù)學(xué)，才能顯現(xiàn)萬物背后隱藏的真理。數(shù)學(xué)遠不是一門枯燥而深奧的學(xué)科，而是我們生活中豐富而生動的一部分。《數(shù)學(xué)的語言》探索了這個經(jīng)常被誤解的學(xué)科，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單、精確、純粹和優(yōu)雅。何謂數(shù)學(xué)？隨機向人們提問，你可能獲得的答案是，“數(shù)學(xué)是有關(guān)數(shù)字的一種學(xué)問”。如果繼續(xù)追問他們所謂的學(xué)問是哪一種，你或許可以誘導(dǎo)他們提出譬如“那是一種有關(guān)數(shù)字的科學(xué)”之描述。不過，這大概是你可以得到的最多的信息。而這一種有關(guān)數(shù)學(xué)的描述，在大約兩千五百年前，就已經(jīng)不再正確了。在這樣嚴重的誤導(dǎo)之下，你所隨機抽樣的人們無法體會數(shù)學(xué)研究是一種興旺且無所不在的活動，或是接受數(shù)學(xué)經(jīng)常相當(dāng)程度地貫穿我們?nèi)粘Ｉ钆c社會大部分活動的看法。這毫不令人意外。事實上，“何謂數(shù)學(xué)”這個問題的答案，在人類歷史過程中，已經(jīng)數(shù)度更易了。到公元前500年左右，數(shù)學(xué)的確是有關(guān)數(shù)字（number）的一種學(xué)問。這是古埃及和古巴比倫時期的數(shù)學(xué)。在這些文明中，數(shù)學(xué)所包括的，幾乎都以算術(shù)（arithmethic）為主。它大部分屬功利取向，而且充滿了“食譜”的特色（譬如，“對一個數(shù)字這樣做、那樣做，你將會得到答案”）。從大約公元前500年到公元300年的這一時期，是希臘數(shù)學(xué)的時代。古希臘的數(shù)學(xué)家主要關(guān)心幾何學(xué)（geometry）。誠然，他們按幾何方式，將數(shù)字視為線段長之度量，而當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)有數(shù)字缺乏對應(yīng)的線段長時，有關(guān)數(shù)字的研究就停頓下來了。對于希臘人而言，由于他們強調(diào)幾何學(xué)，所以，數(shù)學(xué)不只研究數(shù)字，而且也是有關(guān)形狀（shape）的學(xué)問。一直到17世紀中葉，英國的艾薩克·牛頓（Issac Newton）和德國的戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（GottfriedWilhelm Leibniz）各自獨立發(fā)明微積分之前，數(shù)學(xué)的整體本質(zhì)未曾有過根本的變革，或者說幾乎沒有任何顯著的進展。實質(zhì)來說，微積分是研究運動（motion）和變化（change）的一門學(xué)問。在此之前的數(shù)學(xué)大都局限于計算、度量和形狀描述的靜態(tài)議題上?，F(xiàn)在，引進了處理運動和變化的技巧之后，數(shù)學(xué)家終于可以研究行星的運行、地球的落體運動、機械裝置的運作、液體的流動、氣體的擴散、如電力和磁力等物理力、飛行、動植物的生長、流行病的傳染、利潤的波動等。在牛頓和萊布尼茨之后，數(shù)學(xué)變成了研究數(shù)字、形狀、運動、變化以及空間（space）的一門學(xué)問。
大部分涉及微積分的初始問題都導(dǎo)向物理的研究；事實上，該時期很多偉大的數(shù)學(xué)家也被視為物理學(xué)家。不過，從大約18世紀中葉之后，當(dāng)數(shù)學(xué)家著手了解微積分為人類帶來的巨大力量背后是什么時，他們對于數(shù)學(xué)本身的興趣與日俱增，而不再只是關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用而已。因此，當(dāng)今日一大部分純數(shù)學(xué)被發(fā)展的時候，古希臘形式證明的傳統(tǒng)卷土重來掌握了優(yōu)勢。到 19世紀末，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為有關(guān)數(shù)字、形狀、運動、變化、空間以及研究數(shù)學(xué)的工具的一門學(xué)問。發(fā)生在20世紀的數(shù)學(xué)活動之爆發(fā)相當(dāng)戲劇化。在1900那一年，世界上所有的數(shù)學(xué)知識可以全部裝入大約八十部書籍之中。而在今日，數(shù)學(xué)將必須有十萬部書籍才能容納。這種非比尋常的成長，不只源自一個世紀以來數(shù)學(xué)的增進，也因為許多新的分支已紛紛涌現(xiàn)。在1900年，數(shù)學(xué)可以被視為包括了大約十二個主題：算術(shù)、幾何、微積分等。至于今日，六十到七十之間的不同范疇，將是一個合理的數(shù)字。某些主題，譬如代數(shù)和拓撲學(xué)（topology），已經(jīng)被細分為不同的子領(lǐng)域；至于其他主題，譬如復(fù)雜理論（complexitytheory）或動態(tài)系統(tǒng)理論（dynamical systems theory），則是全新的研究領(lǐng)域。基于數(shù)學(xué)活動如此迅速成長這一事實，對于“何謂數(shù)學(xué)”這個問題，一時之間唯一的簡單答案，好像就是有一點愚昧地說：“那是數(shù)學(xué)家賴以維生的東西。”一種特定的研究之所以被歸類為數(shù)學(xué)，并不是基于什么被研究，反倒是基于它如何被研究，也就是說，基于被使用的方法論。在最近大約三十年間，一個為大部分數(shù)學(xué)家所同意的有關(guān)數(shù)學(xué)的定義，才終于出現(xiàn)了：數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)（science of patterns）。數(shù)學(xué)家的所作所為，就是去檢視抽象的模式——數(shù)值模式、形狀的模式、運動的模式、行為的模式、全國人口的投票模式、重復(fù)機會事件（repeating chance events）的模式等。這些模式可以是真實存在或想象的、視覺性或心智性的、靜態(tài)或動態(tài)的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們周遭的世界、源自空間和時間的深度，或者源自人類心靈的內(nèi)部運作。不同種類的模式當(dāng)然引出不同的數(shù)學(xué)分支，譬如說：l 算術(shù)與數(shù)論研究數(shù)字與計算模式。l 拓撲學(xué)研究鄰近（closeness）與位置（position）模式。本書將運用八個主題，涵蓋計算模式、推論與溝通模式、運動與變化模式、形狀模式、對稱與規(guī)則模式、位置模式、機會模式，以及宇宙的基本模式，以傳遞現(xiàn)代定義的數(shù)學(xué)的一些信息。雖然略去了數(shù)學(xué)的一些主要領(lǐng)域，它仍為當(dāng)代數(shù)學(xué)為何提供了一個不錯的全面解答。每一個主題的處理，盡管只是在純描述的層次，卻一點也不膚淺。在數(shù)學(xué)史上，可辨識的代數(shù)符號初次有系統(tǒng)地使用，似乎是從丟番圖（Diophantus）開始的。他在大約公元250年住在亞歷山大城（Alexandria）。他的論著《算術(shù)》（Arithmetic）——僅存原先十三卷中的六卷——通常被視為第一本“代數(shù)教科書”。丟番圖使用特殊的符號去代表一個方程式中的未知數(shù)，及未知數(shù)之乘冪；同時，他也運用了表示減與相等的符號。在今日，數(shù)學(xué)書籍總是到處充斥著符號；但是，數(shù)學(xué)符號并不等于數(shù)學(xué)，其情況就如同記譜法并不等于音樂一樣。樂譜的一頁呈現(xiàn)一段音樂；當(dāng)樂譜上的音符被唱出來或者被樂器演奏時，你才可以得到音樂本身。也就是說，在它的表演中，音樂變得有了生命，并且成為我們經(jīng)驗的一部分。對于數(shù)學(xué)來說也是一樣，書頁上的符號只不過是數(shù)學(xué)的一種表現(xiàn)（representation）。要是讓一位有素養(yǎng)的表演者（譬如，受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的某人）來讀的話，印刷頁上的符號就擁有生命——正如同抽象的交響曲一樣，數(shù)學(xué)在讀者的心靈之中存活與呼吸。數(shù)學(xué)與音樂有這么多的相似性，兩者都有各自抽象的符號，并且都為各自的抽象法則所支配，所以如果說很多（或許大多數(shù)）數(shù)學(xué)家也擁有音樂天分，那是一點也不令人驚訝的。雖然只有少數(shù)受過很好音樂訓(xùn)練的人可以讀懂樂譜，并且在心靈之中聽到這段音樂，不過，如果同一段音樂由一位有素養(yǎng)的音樂家來演奏，那么，任何人只要擁有聆聽的感官能力，也將能夠欣賞。無須專業(yè)訓(xùn)練，任何人都將有能力經(jīng)驗與享受音樂表演。然而，對于數(shù)學(xué)的大部分歷史而言，欣賞數(shù)學(xué)的唯一方法，就是去“視讀”（sightread）其中的符號。盡管數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)與類型一點一滴反映了人類心靈的結(jié)構(gòu)并與之產(chǎn)生共鳴，好比音樂的結(jié)構(gòu)與模式一樣，但人類卻并未發(fā)展出一雙耳朵的數(shù)學(xué)等價物體。數(shù)學(xué)只能利用“心靈的眼睛”（eyes of the mind）而得到“觀看”。這種情況就好比某人即便缺乏聽覺能力，但只要能夠“視讀”記譜法，他仍將可以欣賞音樂的模式與調(diào)諧的樂音。不過，由于近年來電子計算機與視頻技術(shù)的發(fā)展，在某種程度上，數(shù)學(xué)變得更容易讓門外漢（theuntrained）親近。在訓(xùn)練有素的使用者手上，計算機可以用來“操弄”（perform）數(shù)學(xué)，而且其結(jié)果也可以展示成為屏幕上所有人都可見得到的形式。雖然目前只有一小部分數(shù)學(xué)容許這樣的視覺“操弄”，然而，我們已經(jīng)有能力多少傳遞一點數(shù)學(xué)的美與調(diào)諧給門外漢，而這些當(dāng)然是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)時，所“看到”以及所經(jīng)驗到的。在出版于1940年的《一個數(shù)學(xué)家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中杰出的英國數(shù)學(xué)家哈代（G.H.Hardy）描述道：數(shù)學(xué)家的模式，就好比畫家的或詩人的一樣，必須是美的；理念就像色彩或文字一樣，必須按和諧的方式安排在一起。美是第一個試煉；在這個世界上，丑陋的數(shù)學(xué)沒有永遠的棲身之所……我們可能很難定義數(shù)學(xué)的美，然而，它就像其他種類的美之真實一樣———我們或許無法完全知曉所謂一篇美的詩是什么意思，但是，當(dāng)我們得讀一篇時，那并不會妨礙我們認識它。哈代所指涉的美，在很多情況下，都是一種高度抽象的內(nèi)在美，抽象形式與邏輯結(jié)構(gòu)的一種美，一種只可以被那些受過充分數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人所觀察與欣賞的美。根據(jù)英國著名數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）的看法，它是一種“冷冽與樸實無華的”美。在出版于1918年的《神秘主義與邏輯》（Mysticism and Logic）中，羅素寫道：如果對數(shù)學(xué)加以正確考察，我們會發(fā)現(xiàn)，它所包括的不只是真理，還有至高無上的美——一種冷冽與樸實無華的美，就像雕刻的美一樣，不必訴諸我們較弱本性的任一部分，無須繪畫與音樂的奢華裝飾，卻還是具有莊嚴的純粹，以及只有偉大的藝術(shù)才能表現(xiàn)的一種冷酷的完美。我們已經(jīng)利用“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”這一口號來回答“何謂數(shù)學(xué)？”這一疑問。有關(guān)數(shù)學(xué)，還有另一個根本的問題，能以一個吸引人的短語來回答：“數(shù)學(xué)作什么用？”我的意思是說，當(dāng)你應(yīng)用數(shù)學(xué)來研究某些現(xiàn)象時，數(shù)學(xué)真正帶給你的是什么？這一問題的答案是，“數(shù)學(xué)讓不可見變成可見”（Mathematics makes the invisible visible）。接下來，請允許我舉一些例子，以便說明我這個答案的意義。要是沒有數(shù)學(xué)，你將無從理解，是什么東西讓一架巨型噴氣式飛機浮在空氣中。正如我們都知道的，大型金屬物體如果沒有東西支撐，根本無法停留在空中。但是，當(dāng)你注視一架噴氣式客機飛過你的頭頂時，你看不到任何支撐物。是數(shù)學(xué)讓我們“看到”令飛機飄浮高處的是什么。在本例中，讓你“看到”那些不可見的支撐物的，是一個在18世紀早期被數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（DanielBernoulli）發(fā)現(xiàn)的方程式。當(dāng)我正在討論飛行主題時，是什么原因促使飛行器以外的物體一被我們松開便墜地？你回答：“是重力?！比欢@只不過是給它一個名字，這無助于我們理解它。它仍然是不可見的。我們也可以稱它是一種“魔術(shù)”。為了理解重力，你必須“看到”它。那正是牛頓在17世紀利用他的運動和力學(xué)方程式所做的事。牛頓的數(shù)學(xué)幫助我們“看到”那些讓地球繞著太陽旋轉(zhuǎn)，以及造成蘋果從樹上墜地的不可見之力。在此，有一些我們可以經(jīng)由數(shù)學(xué)“看到”的人為模式：l 亞里士多德企圖使用數(shù)學(xué)去“看”我們認定為音樂的不可見的聲音模式。l 他還試圖使用數(shù)學(xué)描述一出戲劇表演的不可見結(jié)構(gòu)。l 在20世紀50年代，語言學(xué)家諾姆·喬姆斯基（Noam Chomsky）使用數(shù)學(xué)去“看”并描述我們認定為文法語句的不可見的、抽象的文本模式。于是，他將語言學(xué)從人類學(xué)一個相當(dāng)晦澀的分支，轉(zhuǎn)變成為一門蓬勃發(fā)展的數(shù)理科學(xué)。最后，使用數(shù)學(xué)，我們可以展望未來：l 概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)讓我們預(yù)測選舉的結(jié)果，且往往有著出色的準確率。l 市場分析師企圖使用各種數(shù)學(xué)理論預(yù)測股票市場的行為。l 保險公司使用統(tǒng)計學(xué)與概率論去預(yù)測來年一場事故發(fā)生的可能性，從而據(jù)以設(shè)定他們的保費。當(dāng)時代引領(lǐng)我們展望未來時，數(shù)學(xué)允許我們將另外一些不可見——亦即尚未發(fā)生之事——變?yōu)榭梢姟?/span>當(dāng)然，我們的視界并不完美，預(yù)測失準在所難免，不過，要是沒有數(shù)學(xué)，我們甚至連差勁地展望未來都不可能。今日，我們生活在一個技術(shù)型的社會（technological society）。當(dāng)我們環(huán)顧四周，在地球表面上，已經(jīng)愈來愈少有地方見不到我們的技術(shù)帶來的產(chǎn)品：高樓、橋梁、電線、電話線、路上的汽車、天上的飛行器，等等。溝通曾經(jīng)需要物理的近距離，今日我們大部分的溝通則是由數(shù)學(xué)作為媒介，沿著電線或光纖，或者經(jīng)由以太網(wǎng)（Ethernet），按數(shù)字形式來傳遞。電子計算機——機械執(zhí)行數(shù)學(xué)（運算）——不只是我們的桌面計算機而已，它們存在于每一個事物之中，從微波爐到汽車，從兒童玩具到電子心臟定調(diào)器，等等。數(shù)學(xué)——基于統(tǒng)計學(xué)的形式——決定我們將食用哪些食物，將購買哪些產(chǎn)品，將看到哪些電視節(jié)目，以及將投票給哪些政客。正如工業(yè)（革命）時代的社會燃燒煤炭以啟動引擎，在今日信息時代，我們所燃燒的主要燃料，則是數(shù)學(xué)。還有，在過去半個世紀內(nèi)，隨著數(shù)學(xué)的角色變得愈來愈重要，數(shù)學(xué)也愈來愈隱身在我們的視界之外，構(gòu)成一個支撐我們的不可見宇宙。正如我們的一舉一動都受制于自然的不可見之力（譬如重力），我們現(xiàn)在生活在一個由數(shù)學(xué)創(chuàng)造，并且由不可見的數(shù)學(xué)定律支配的不可見宇宙。本書將帶領(lǐng)你踏上不可見的宇宙之旅。它將對你展示：我們?nèi)绾问褂脭?shù)學(xué)，去看它不可見結(jié)構(gòu)的某些部分。在這趟旅程中，你可能發(fā)現(xiàn)你所遭遇到的世界顯得怪異而陌生，就像那些遙遠的土地一樣。然而，所有的陌生感，并非來自我們將要旅行的一個遙遠的宇宙，而是我們所居住的宇宙。（節(jié)選自《數(shù)學(xué)的語言：化無形為可見》，有刪節(jié)，小標題為編者所加）
是什么讓一架巨型噴氣式飛機懸浮在空中？ 是什么讓足球比賽出現(xiàn)在屏幕上？ 我們?nèi)绾晤A(yù)測天氣、股票市場？ 微波爐、手機、玩具、心臟起搏器、汽車和電腦是如何被發(fā)明的？ 數(shù)學(xué)，是一切科學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 唯有借助數(shù)學(xué)，才能顯現(xiàn)萬物背后隱藏的真理！ 數(shù)學(xué)不僅僅是對數(shù)字的研究，它還為我們提供了識別和描述生活中隱藏的模式的眼睛，這些模式不僅存在于客觀的外部世界，也存在于內(nèi)部的思想領(lǐng)域。 數(shù)學(xué)遠不是一門枯燥而深奧的學(xué)科，而是我們生活中豐富而生動的一部分?！稊?shù)學(xué)的語言》探索了一個經(jīng)常被誤解的學(xué)科，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單、精確、純粹和優(yōu)雅。
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