（2021·遂寧）如圖，的半徑為1，點(diǎn)是的直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，，．
（1）求證：直線是的切線；
（2）求的面積；
（3）點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)關(guān)于直徑對(duì)稱時(shí)，求的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，取到最大值，并求出此時(shí)的長(zhǎng)．

【分析】

（1）有交點(diǎn)連圓心證垂直。本題中易得∠ACD=∠B，其實(shí)是弦切角問(wèn)題。

（2）求出邊長(zhǎng)再作高即可，難度不大。

（3）①先確定點(diǎn)E的位置，再根據(jù)相似可以得到CF的長(zhǎng)。

②在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠ECF始終不變，CE與CF的比值也不變，那么點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡與點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的。點(diǎn)E在圓弧上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)F的軌跡也是圓弧。以CO為邊構(gòu)造一個(gè)與三角形ECF相似的三角形，得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心O′，那么當(dāng)點(diǎn)C、O′、F三點(diǎn)共線時(shí)CF最大，此時(shí)CE也是最大。

本題是大家常見(jiàn)的瓜豆原理的應(yīng)用。

【答案】（1）證明：連接，如圖1，

，，
，
，
，
，
，
是半徑，
直線是的切線；
（2）解：，，
是等邊三角形，
，
作于點(diǎn)，則，如圖2，

，
，
．
（3）①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)關(guān)于直徑對(duì)稱時(shí)，于點(diǎn)，如圖3，

為的直徑，
，
，
，
，
，
②點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，
在中，，
，
當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，
當(dāng)為直徑，即時(shí)，最大，最大值為．