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1．難度：★★★ 尤拉想出一個數(shù)，將它乘以13，刪去乘積的末位數(shù)，將所得的數(shù)再乘以7，再刪去乘積的末位數(shù)，最終得到的數(shù)為21．問：尤拉最初所想的是哪一個數(shù)？ 【解析】解法一：(從分析結(jié)果入手)在第二次刪去末位數(shù)之前，尤拉面臨的是一個三位數(shù)，其值在210至219之間．在這些數(shù)中，只有兩個數(shù)是7的倍數(shù)：和．這就意味著在乘以7之前，尤拉的數(shù)是30或31．因而在第一次刪去末位數(shù)之前，尤拉所面臨的數(shù)為300到319之間的一個三位數(shù)．在這些數(shù)中只有一個數(shù)是13的倍數(shù)：，所以尤拉最初所想出的數(shù)是24． 解法二：(利用單調(diào)性)容易看出，如果增大一開始的數(shù)，發(fā)現(xiàn)最終所得的數(shù)不會減小，這是因為無論是乘法運算，還是刪去末位數(shù)的操作，都具有“非降性”．如果開始所想的數(shù)是25，那么運算過程如下：25→325→32→224→22.綜合上述兩方面，即知尤拉最初所想的數(shù)是24． 2．難度：★★★★ 一個數(shù)列有如下規(guī)則：當(dāng)數(shù)n是奇數(shù)時，下一個數(shù)是n+1；當(dāng)數(shù)n是偶數(shù)時，下一個數(shù)是  ．如果這列數(shù)的第一個數(shù)是奇數(shù)，第四個數(shù)是11，則這列數(shù)的第一個數(shù)是 ．【解析】本題可以進(jìn)行倒推．的前一個數(shù)只能是偶數(shù)，的前一個數(shù)可以是偶數(shù)或奇數(shù)，的前一個是可以是偶數(shù)或奇數(shù)，而的前一個只能是偶數(shù)． 由于這列數(shù)的第一個是奇數(shù)，所以只有43滿足．故這列數(shù)的第一個數(shù)是43． 也可以順著進(jìn)行分析．假設(shè)第一個數(shù)是，由于是奇數(shù)，所以第二個數(shù)是，是個偶數(shù)，那么第三個數(shù)是，第四個數(shù)是11，11只能由偶數(shù)22得來，所以，得到，即這列數(shù)的第一個數(shù)是43． |
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