數(shù)字世界是現(xiàn)實(shí)世界的鏡像，模數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC則是連接這兩個世界的大門。采樣速率是ADC重要參數(shù)之一，圍繞采樣速率，有一條著名的定理：奈奎斯特采樣定理。

采樣定理：

只要采樣頻率大于或等于有效信號最高頻率的兩倍，采樣值就可以包含原始信號的所有信息，被采樣的信號就可以不失真地還原成原始信號。

采樣定理是美國電信工程師H.奈奎斯特在1928年提出的，在1948年，信息論的創(chuàng)始人C.E.香農(nóng)對這一定理加以明確地說明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又稱為香農(nóng)采樣定理。

為方便介紹，我們統(tǒng)稱之為采樣定理。

在詳細(xì)介紹采樣定理之前，我們一定要知道一個非常有趣的頻率現(xiàn)象：'任何模擬信號，在離散化后，在頻率上都會按照采樣率周期性延拓。’

先拋個問題：

我們以fs=100Hz的采樣率，采集一段模擬信號，得到了100個采樣點(diǎn)，我們能夠重構(gòu)出原始的模擬信號，得到模擬信號的頻率信息嗎？

理論來講是不可能的，模擬信號一旦經(jīng)過采樣離散化后，其波形就已經(jīng)失真了，我們永遠(yuǎn)無法完美的重構(gòu)原始模擬信號。

其中一個重要原因是，我們無法區(qū)分離散后信號的頻率信息。

我們從時域和頻域兩個方向分別理解：'我們無法區(qū)分離散后信號的頻率信息’這句話的意義。

時域解釋

下圖藍(lán)色點(diǎn)是采集后的一段離散序列，我們無法知道采樣的原始信號是紅色曲線還是藍(lán)色點(diǎn)直連重構(gòu)的曲線。

通常情況下，我們重構(gòu)采集后的離散點(diǎn)方法是直接連接相鄰采樣點(diǎn)。

基于這樣的方法，我們直接重構(gòu)后的最低頻率為fa，而理論上可以提取出（fa+n*fs）Hz的信號（n為≥0的整數(shù)，fa為原始信號頻率，fs為采樣頻率）。

比如一段頻率為fa=10Hz的模擬信號，經(jīng)過采樣頻率fs=100Hz后，離散后的信號可以重構(gòu)為10Hz、110Hz、210Hz。這個特性就是信號頻率的模糊性。

頻域解釋

一段頻率為帶限為fa的模擬信號，經(jīng)過采樣頻率fs采樣后，其在頻譜上的波形會按照fs周期性復(fù)現(xiàn)，波形見下圖。

這是一個非常有趣的現(xiàn)象，可以看到時域的結(jié)果和頻域的分析是統(tǒng)一的。

而這里面就隱含著著名的采樣定理。

同樣的，我們從時域和頻域分別看下采樣定理的理解。

時域分析

在時域的角度下，當(dāng)一個周期采集點(diǎn)數(shù)少于2個時，我們直連采樣點(diǎn)重構(gòu)信號，則頻率就錯了；而當(dāng)一個周期采集兩個采樣點(diǎn)時，采用直連的重構(gòu)方式，我們起碼可以得到原始信號的頻率信息。

頻域解釋

如下圖所示，當(dāng)fs<2fa時，周期性復(fù)現(xiàn)的帶限信號，會有紅色重疊的地方，這會導(dǎo)致我們失去原始帶限信號的基本頻率信息，俗稱頻譜混疊。

如上就可以提煉出采樣定理的基本要義了。

采樣定理與過采樣率

上文中的fa是信號的帶限（信號的最大頻率范圍），2*fa是采樣定理的基本要求；M*2*fa中，M就是過采樣率，過采樣率是對'采樣定理的最低采樣頻率’而言的。

過采樣率M每提高4倍，可以讓ADC分辨率B提高1bit。舉例如下：

過采樣率分別為4、16、64，ADC分辨率B分別會提高1、2、3bit。這個后面會繼續(xù)深入介紹。

具體原理與實(shí)現(xiàn)，公眾號會繼續(xù)更新。

然而過采樣并不是一直都有效的，它也會有限制因素，這個也是后話，咱們后面一一說明。

傅里葉變換的提出讓人們看問題的角度從時域變成了頻域，多了一個維度?？焖俑道锶~變換算法的提出普及了傅里葉變換在工程領(lǐng)域的應(yīng)用，在科學(xué)計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域，離散傅里葉變換（DFT）至今依然是非常有效的工具之一。

比如下圖是一個幅度為1、頻率為2Hz的正弦波和它的離散傅里葉變換后的結(jié)果。

可以得到原始matlab代碼

信噪比（SNR）是信號與噪聲的比率，它是衡量通信或模擬系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)之一，與傅里葉變換更是有千絲萬縷的聯(lián)系。在很多情況下，我們是通過傅里葉變換來評估信噪比，如果評估方法不對，很難的到我們期望的結(jié)果，經(jīng)常會事與愿違。

求解SNR的過程，我們是用'評估SNR’來描述，這就是說我們無法精確計算出SNR，只能進(jìn)行評估，事實(shí)也是如此。

評估SNR的方法分為時域和頻域兩種。我們以一組離散樣本點(diǎn)為分析目標(biāo)，看下如何評估SNR，及其誤區(qū)。

時域估計SNR

Xs(n)為信號序列，Xn(n)為噪聲序列，則信號X(n)=Xs(n)+Xn(n)，是一組帶噪離散序列，在時域上評估X(n)的信噪比公式如下：

其意義為分別求取離散信號、噪聲功率和，計算二者之比。這里有個前提是，我們需要分離出信號與噪聲，然后才能求解，

然而問題也在于此，對于一段給定的離散時間序列，我們很難完全分離出信號和噪聲，所以時域評估SNR是有局限性的，而且不夠直觀，所以通常我們在頻域下求解。

頻域估計SNR

在頻域上的SNR計算原理和時域很接近，還是求信號功率與噪聲功率只比。最簡單的方法是在頻譜X(m)上設(shè)置閾值，閾值之上為信號，閾值之下為噪聲。這樣就會有閾值設(shè)置帶來的估計準(zhǔn)確性問題，同時信號頻帶范圍內(nèi)或多或少也會有噪聲疊加進(jìn)來，在頻域計算SNR也是一個近似。

SNR以dB作為單位，SNR(dB)=10*log10(SNR)。

我們往往使用Matlab評估SNR，Matlab是非常強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，其集成了SNR計算函數(shù)，如果應(yīng)用不正確，誤差會非常大，無法得到預(yù)期結(jié)果，舉例如下。

下圖是一個幅度為1、頻率為2Hz的正弦波和它的離散傅里葉變換后的結(jié)果。

用Matlab SNR函數(shù)計算計算信噪比的結(jié)果如下，藍(lán)色為感興趣的信號成分，橙色為噪聲。這個頻域圖就可以表征SNR，橙色的噪聲數(shù)值越小、越低，說明信噪比越高、越好。即使紅色圓圈部分有一點(diǎn)噪聲，在評估單頻率成分信號的SNR時，這依然是一個非常有效的手段。

假如一信號x(n)=sin(4pi*t)+0.5*sin(18pi*t),如下圖是一個幅度為1、頻率為2Hz的正弦波疊加幅度為0.5、頻率為9Hz的正弦波的結(jié)果。

用Matlab SNR函數(shù)計算計算信噪比的結(jié)果如下，藍(lán)色為感興趣的信號成分，橙色為噪聲，matlab舍棄了頻率為9Hz、能量少的成分，只計算了2Hz信號的信噪比。

所以倘若我們的感興趣信號比較復(fù)雜，就不能直接用SNR函數(shù)直接計算。

所以我們一定要在理解DFT與SNR關(guān)系的基礎(chǔ)上，正確使用matlab才能得到期望的SNR結(jié)果。

在過采樣中，信噪比、ADC有效位數(shù)、過采樣率是有千絲萬縷的聯(lián)系，了解了基本的概念后，我們一步一步理解過采樣的原理。

數(shù)字世界是模擬世界的鏡像，而ADC就是連接兩個世界的大門。一切模擬信號一旦經(jīng)過ADC離散化后，其幅值必然會失真，其重要原因是ADC分辨率有限，只能逼近真實(shí)幅值。

我們不可能抵達(dá)真理，只能無限的接近真理。

分辨率是ADC的重要參數(shù)之一，它和精度是兩個不同的量，精度描述的是離散結(jié)果的準(zhǔn)確性，而分辨率描述的是ADC能夠分辨的最小信號，為1LSB。

換言之，分辨率高的ADC能區(qū)分出更小的信號，但其轉(zhuǎn)化的結(jié)果準(zhǔn)確性受精度限制。

一個8bit ADC，可分辨出256種電平，當(dāng)輸入范圍是2.56V時，1LSB即為10mV。受分辨率限制，ADC輸出值和實(shí)際值之間存在誤差。

下圖是量化誤差的示意圖，對于變化小于1LSB的信號，ADC是無法區(qū)分出來的，輸入和輸出此時的誤差即為量化誤差。

量化噪聲的簡化數(shù)學(xué)模型如下，

e(t)=st, -q/2s < t < +q/2s

根據(jù)輸入信號、ADC分辨率和量化誤差的關(guān)系，我們可以推導(dǎo)出一條重要的SNR計算公式。詳細(xì)推導(dǎo)過程在公眾號后臺回復(fù)：過采樣

下面就是經(jīng)典的ADC SNR計算公式。

SNR = 6.02N + 1.76dB

 DC至fs/2帶寬范圍

如果使用數(shù)字濾波來濾除帶寬BW以外的噪聲成分，則等式中還要包括一個校正系數(shù)

或者寫作

BW是信號帶寬，F(xiàn)S是采樣率，OSR=Fs/(2*BW)就是過采樣率。

我們所說的過采樣率每提高4倍，可以提高ADC 1bit的有效分辨率就是根據(jù)上面的公式來的，過采樣率可以參考以前文章：

過采樣系列一：采樣定理與過采樣率

為什么“過采樣率每提高4倍，可以提高ADC 1bit的有效分辨率”？

舉個栗子：

當(dāng)過采樣率OSR為1時，

當(dāng)過采樣率OSR為4時，

對比公式1和公式2，只有紅色框部分不同，即過采樣帶來的SNR收益和增加分辨率N是可以轉(zhuǎn)化等效的。

額外增加的位數(shù)N+：

N+=10log(OSR)/6.02，

當(dāng)OSR=1,4,16，，，，時，N+=1,2,3，，，，，

這就是通常所說的，過采樣率每增加4倍，可以提高1bit分辨率的原因。

那么是不是只要提高采樣速率就可以提高分辨率了呢？

其實(shí)不對，從公式2可以看出，10log(4)變?yōu)?0log(1)了，這個過程還需要降低采樣，或者下抽，這么做除了降低數(shù)據(jù)量外，就是可以提高分辨率。

如何下抽，是一個學(xué)問，如果簡單的求平均，往往只提高信噪比，達(dá)不到提高有效位數(shù)的目的，好多人在這里會采坑。

如何正確使用下抽來增加有效位數(shù)？量化誤差與過采樣率最經(jīng)典的解釋是頻譜密度解釋，篇幅有限，后面文章都會持續(xù)更新。

這應(yīng)該是過采樣系列的最后一篇文章，經(jīng)常有同學(xué)在使用FPGA、單片機(jī)或者DSP進(jìn)行過采樣時沒有正確設(shè)計代碼，導(dǎo)致結(jié)果異常，有些結(jié)果看似正常，而實(shí)際卻沒有意義。

這篇文章涉及到簡單的整型數(shù)據(jù)和算術(shù)運(yùn)算，希望能有所幫助，僅供參考。

舉栗子，理想的8 bit ADC，編碼范圍是0-255，在參考電壓是255mV的情況下，分辨率是1mV。

對一個理想的9.6mV直流電壓進(jìn)行采樣，ADC無法分辨小數(shù)點(diǎn)后的0.6mV，采樣結(jié)果會被編碼為10，即10mV。

過采樣有效是有前提條件的，在這里是對9.6V的直流電壓加隨機(jī)噪聲。

過采樣

對疊加噪聲后的信號進(jìn)行4次采樣，理論上應(yīng)該得到[9.8, 9.6, 10.4, 9.6]4個離散的樣本點(diǎn)，而受到ADC分辨率的限制，實(shí)際只能得到[10, 10, 10, 10]4個編碼樣本，所有樣本點(diǎn)都只能分布在。。。8、9、10。。。整數(shù)上。

接下來就對這4個樣本點(diǎn)詳細(xì)介紹，直觀的感受過采樣的原理。

假設(shè)信號帶寬為B，我們分別分析采樣頻率F為2B sps/S和8B sps/S兩種情況。

當(dāng)采樣頻率為2B時，過采樣率OSR1=F/(2B)=1;

當(dāng)采樣頻率為8B時，過采樣率OSR4=F/(2B)=4;

OSR4/OSR1=4，即過采樣率提高了4倍（注意：是提高了4倍），其分辨率應(yīng)該會增加1bit。

過采樣系列一：采樣定理與過采樣率

繼續(xù)以上面采樣9.6mV信號舉栗子。

當(dāng)以采樣頻率F=1采樣時，采集的結(jié)果是[10, 10,10, 10]中的任意一個，對應(yīng)二進(jìn)制(0000 1010)。

當(dāng)以采樣頻率F=4采樣時，采集的結(jié)果是[10, 10,10, 10]4個序列。

下面對F=4的4個數(shù)據(jù)進(jìn)行下抽處理（降采樣），可以減少計算量增加分辨率。

抽取

ADC是8bit的分辨率，但是在過采樣計算時，不能定義并初始化一個8bit的整形數(shù)據(jù)，如果初始化8bit的數(shù)據(jù)，計算過程會溢出，最終結(jié)果的位寬還是8bit，并沒有增加分辨率，在這里我們定義一個16bit的數(shù)據(jù)，預(yù)留了足夠的buffer。

對采樣得到的4個8bit數(shù)據(jù)求和運(yùn)算，需要計算最大位寬，求和后的最大位寬為8+2=10bit，相當(dāng)于左移了2bit，變?yōu)?0bit。

如果只是簡單的求平均，求和后的結(jié)果再除以采樣個數(shù)4的話，則數(shù)據(jù)其實(shí)是右移2bit，又變回原來的8bit位寬，并沒有增加分辨率。

在這里我們選擇下抽方法是求和后除以2，即右移1bit，則數(shù)據(jù)從10bit變?yōu)?bit，相比于原始的8bit，增加了1bit分辨率（過采樣容易理解，更重要的是下抽）。

過采樣系列三：量化誤差與過采樣率

過采樣率為4時，采樣的4個數(shù)據(jù)序列[10, 10,10, 10]求和后是40，對應(yīng)二進(jìn)制(00 0010 1000)，右移1bit后變?yōu)?0，對應(yīng)二進(jìn)制(0 0001 0100)

255mV參考電壓下，原始的8bit ADC，分辨率為1mV，采集的數(shù)據(jù)是9(0000 1001)，即9mV；

過采樣率增加4倍后：

255mV參考電壓下，9bit ADC，分辨率為0.5mV，采集的數(shù)據(jù)是20(0 0001 0100)，即10.0(9.98)mV；

過采樣率增加4倍的前提下，只提高了1bit分辨率，效果不是很明顯，繼續(xù)在9.6mV基礎(chǔ)上添加隨機(jī)噪聲，這次過采樣率再增加4倍，達(dá)到16倍，即采樣速率F=16，對16個采樣序列進(jìn)行計算舉例。

對采樣得到的16個8bit數(shù)據(jù)求和運(yùn)算，最大位寬是8+4=12bit。

求和：10*8+9*7+11=154，對應(yīng)二進(jìn)制是(0000 1001 1010)，再右移2bit，則變?yōu)?0bit的38(00 0010 0110)，（再次強(qiáng)調(diào)，不能簡單的求和然后求平均）。

9.6mV加噪信號：

1、255mV參考電壓下，原始的8bit ADC，分辨率為1mV，采集的數(shù)據(jù)是10(0000 1001)，即10mV

2、過采率為4后：

255mV參考電壓下，9bit ADC，分辨率為0.5mV，采集的數(shù)據(jù)是20(0 0001 0100)，即10.0(9.98)mV；

3、過采率為16后：

255mV參考電壓下，10bit ADC，分辨率為0.25mV，采集的數(shù)據(jù)是38(00 0010 0110)，即9.47mV；

從列舉的例子可以看出，過采樣率是可以提高分辨率的，但是提高采樣速率來提高分辨率的代價是巨大的（牛頓第三定律：得到點(diǎn)東西時總要舍棄點(diǎn)什么^_^）。

－ The End －