電動力學(xué)(電流和磁場)

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在這一期的電動力學(xué)專題中，我們將會探索電流和磁場，與電荷和電場相比，它們有什么不同有什么類似，它們又有什么性質(zhì)呢？接下來，讓我們一起開始一場全新的探索吧！

電荷守恒定律

通過一根導(dǎo)線的電流，我們通常用通過導(dǎo)線截面的總電流I來描述。但電流強度是宏觀物理量，對于電荷運動的描述十分粗糙：帶電粒子在空間各點的運動速度快慢可能不同，電流強度沒有描述其運動速度大小的分布；電流強度是標(biāo)量，帶電粒子運動方向在空間各點可能不同，電流強度沒有描述帶運動方向的差異。

很多時候，我們不僅想知道總電流，我們更想知道總電流在導(dǎo)體內(nèi)是怎樣分布的。因此我們引入了一個新的物理量——電荷密度。

如圖，設(shè)dS為某曲面上到一個面元，它在該點上的電流方向有夾角θ，定義電流密度J，它的方向沿著該點上的電流方向，它的數(shù)值等于單位時間垂直通過單位面積的電荷量，由這些條件，我們即可求出通過面元dS的dI為：

通過任一曲面S的總電流I為：

假如電流由一種電荷密度為ρ的帶電粒子構(gòu)成，平均速度為v，則電流密度為：

加入電流是由多種密度、平均速度不同的帶電粒子構(gòu)成，則電流密度有：

電流密度是對空間點定義的，而電流強度是對于一有限面定義的；電流密度是矢量，方向與該點正電荷速度方向一致。

接下來我們來看電流守恒定律：實驗表明電荷是守恒的，即電荷不能消滅及產(chǎn)生，而只能發(fā)生轉(zhuǎn)移。

假如我們在一個空間中用封閉曲面S包裹出一個確定的區(qū)域V。如果有電荷通過封閉曲面S從區(qū)域V中流出，那單位時間流出的電流顯然是：

那么根據(jù)電流守恒定律我們可以知道，單位時間內(nèi)通過封閉曲面S流出電荷量，應(yīng)該和區(qū)域V中單位時間減少的電荷量相當(dāng)，即：

等式右邊即為區(qū)域V中單位時間減少的電荷量。這是電荷守恒定律的積分形式，我們可以利用高斯公式，這樣就能得到：

結(jié)合兩式，顯然，動量守恒定律的微分形式為：

這一等式也被稱為電流連續(xù)性方程。

在穩(wěn)恒電流的情況下，電荷量等物理量不再隨時間發(fā)生變化，因此我們就會得到：

這個式子說明穩(wěn)恒電流的電流密度的散度為零，即穩(wěn)恒電流的電流線是閉合無源的曲線。簡而言之，穩(wěn)恒電流只能在閉合回路中存在，一斷電就沒了。

而對于非穩(wěn)恒的電流，我們則可以從電流連續(xù)性方程中看出，它的電流線的匯聚和發(fā)散會伴隨著電荷的積累。

安培定律和畢奧-薩伐爾定律

通過實驗我們發(fā)現(xiàn)，電流和電流之間也會有力的作用。那么這個力該如何計算呢？物理學(xué)家安培通過實驗得出在真空中的兩個電流元之間的作用力為：

從中我們可以發(fā)現(xiàn)：電流元之間的相互作用力也和電荷之間的相互作用力一樣，服從平方反比律。

同時我們也發(fā)現(xiàn)一個問題，由于是叉乘，電流元之間的相互作用力不滿足牛頓的作用力與反作用力定律，即F12和F21是不相等的。實際上，這一問題的出現(xiàn)是因為不可能存在穩(wěn)定的電流元，為此我們來看一看穩(wěn)恒情況下的閉合回路。

對于圖中所示閉合回路之間的作用力，我們有：

根據(jù)矢量運算公式A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)，我們可以得到：

從中，我們可以看到閉合回路之間的相互作用力滿足牛頓第三定律。

而就像兩個電荷之間的作用力，電流之間的作用力也需要有“場”來傳遞，即磁場。電流激發(fā)磁場，而當(dāng)另一電流處于該磁場中時，就受到磁場對它的作用力，對電流的作用力是磁場的特征性質(zhì)，我們就用這一性質(zhì)來描述磁場。通過實驗我們發(fā)現(xiàn)，一個電流元Idl在磁場中所受的作用力可以表示為：

矢量B是電流元所在點上磁場的性質(zhì),稱為磁感應(yīng)強度。

恒定電流激發(fā)的磁場由畢奧-薩伐爾定律給出。記J(x')為源點x'上的電流密度，r為由x'到場點x的矢徑，則場點上的磁感應(yīng)強度為：

其中μ0為真空中磁導(dǎo)率。

假如電流集中在細(xì)導(dǎo)線上，用dl表示回路L上的線元，那么我們就能寫出細(xì)導(dǎo)線上恒定電流激發(fā)的磁場：

磁場的散度

與電場類似，我們想要了解磁場更多的性質(zhì)，我們必須要知道磁場的散度和旋度。這里我們先來討論磁場的散度。

式中，A定義為為矢勢：

由此我們可以得到：

我們在矢量分析02中推出過一個結(jié)論，矢量場旋度必為無源場，所以對于這個式子我們能直接得到：

從上述這個式子中我們可以得知：由電流激發(fā)的磁場都是無源的。那么是否存在一種與電荷對應(yīng)的磁荷源呢？按照目前對于磁單極子(孤立的磁荷)的探索來說，并沒有發(fā)現(xiàn)其存在的證據(jù)。因此，我們可以把這個式子當(dāng)作磁場的一條基本規(guī)律。

磁場的旋度

這里我們依舊要用到矢勢A：

其中：

對于第一項來說，可以利用高斯公式將體積分轉(zhuǎn)化為面積分，對于包圍區(qū)域V'的閉合曲面S，并沒有電流通過，所以面積分的結(jié)果為零；而第二項，對于穩(wěn)恒電流來說，我沒有：

因此，這一項積分結(jié)果也為零。

接下來我們計算?2A：

上式的被積函數(shù)只可能在x=x'點不為零，因而體積分僅需對包圍x點的小球積分。這時可取J(x')=J(x)，即可將其提出積分號外，對剩余部分進(jìn)行積分：

因此，我們就有：

不過需要注意的是，我們在推導(dǎo)過程中利用穩(wěn)恒電流的條件，顯然這個式子只在穩(wěn)恒電流條件下成立，而并非一般情況下的形式。

下期預(yù)告

在初步了解了靜電場和靜磁場之后，在下一期中，我們將開始了解麥克斯韋方程組，了解每一個等式背后的含義是什么。

各位對電磁世界好奇的小伙伴，我們下期專題見啦，喜歡的話記得點一下關(guān)注哦！

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