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“全等三角形” 壓軸題精選11道，含詳細解答

 長沙7喜 2021-11-23

以微課堂學習資料群

         奧數(shù)國家級教練與四名特級

教師聯(lián)手執(zhí)教。


八上全等三角形?？級狠S題匯總

一、如圖所示，△ABC≌△ADE，BC的延長線過點E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度數(shù)。
圖片
解：∵△ABC≌△AED
∴∠D=∠B=50°
∵∠ACB=105°
∴∠ACE=75°
∵∠CAD=10°  ∠ACE=75°
∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）
同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°
 
二、如圖，△AOB中，∠B=30°，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°，得到△A′OB′，邊A′B′與邊OB交于點C（A′不在OB上），則∠A′CO的度數(shù)為多少？
圖片
解：∵△A′OB′是由△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，∠B=30°，
∴∠B′=∠B=30°，（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
∵△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°，
∴∠BOB′=52°，
∵∠A′CO是△B′OC的外角，
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°． 
三、如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分別是AC、BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)是多少？
圖片
解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°，∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC，=180°-90°-60°=30°．
 
四、如圖所示，把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，若∠A′DC=90°，則∠A等于多少？
圖片
解：∵三角形△ABC繞著點C時針旋轉(zhuǎn)35°，（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的對應角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°；
故答案為：55°．
 
五、已知，如圖所示，AB=AC，（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，則AD是多少？
圖片
因為AB=AC 三角形ABC是等腰三角形
所以 AB+AC+BC=2AB+BC=50
BC=50-2AB=2(25-AB)（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
又因為AD垂直于BC于D，所以 BC=2BD，BD=25-AB
AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40
AD=40-25=15cm（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）

六、如圖，Rt△ABC中，（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）∠BAC=90°，AB=AC，分別過點B、C作過點A的垂線BC、CE，垂足分別為D、E，若BD=3，CE=2，則D是多少？
圖片
解：∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠D=∠E
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
∵在△ABD與△CAE中
∠ABD=∠CAE，∠D=∠E， AB=AC
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AD+AE∴DE=BD+CE
∵BD=3，CE=2 ∴DE=5
 
七、如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，連接EF，交AD于G，AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論。
圖片
證明：∵AD是∠BAC的平分線∴∠EAD＝∠FAD
又∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED＝∠AFD＝90°
邊AD公共
∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS）
∴AE＝AF
即△AEF為等腰三角形
而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線
∴AD⊥底邊EF（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
（等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡寫成“三線合一”）
 
八、如圖所示，在△ABC中，（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）AD為∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面積是28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求DE的長？
圖片
AD平分∠BAC，則∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠DFA=90度，AD=AD
所以△AED≌△AFD
DE=DF（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
S△ABC=S△AED+S△AFD
28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE)
DE=2
 
九、已知，如圖：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求證：AF⊥CD
圖片
AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD
則△ABC≌△AED
AC=AD（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
△ACD是等腰三角形
∠CAF=∠DAF
AF平分∠CAD
則AF⊥CD
 
十、如圖，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點H，則BH與AC相等嗎？為什么？（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
圖片 
解：∵AD⊥BC
∴∠ADB＝∠ADC＝90
∴∠CAD+∠C＝90
∵BE⊥AC
∴∠BEC＝∠ADB＝90
∴∠CBE+∠C＝90
∴∠CAD＝∠CBE
∵AD＝BD
∴△BDH≌△ADC  （ASA）
∴BH＝AC
 
十一、如圖所示，已知，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證：BE⊥AC
圖片
解：證明：∵AD⊥BC（已知），
∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定義），
∴∠1＋∠2=90°（直角三角形兩銳角互余）.
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）.（關注公眾號：初一數(shù)學語文英語）
∴∠2=∠C（全等三角形的對應角相等）.
∵∠1＋∠2=90°（已證），所以∠1＋∠C=90°.
∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°
（三角形內(nèi)角和等于180°），
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC（垂直定義）

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