1. 前言 這篇文檔，是為那些想了解混合線性模型的人準(zhǔn)備的。這里面很多部分，可以在很多領(lǐng)域中使用 。我們假定大家對一些矩陣和線性回歸的理論有所了解，但是更高級的知識只有模糊的認(rèn)識，希望對你有所幫助。
混合線性模型，不同的學(xué)科有不同的名稱，使用不同的術(shù)語去描述同樣的東西。 這里試圖用一種比較簡明的方法進(jìn)行闡述，我希望這不會讓你更迷惑。
混合模型是用于群集數(shù)據(jù)情況的極其有用的建模工具。擁有重復(fù)測量觀測數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)或以其他方式聚集觀測數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)（例如學(xué)校內(nèi)的學(xué)生，地理區(qū)域內(nèi)的城市）非常普遍?；旌夏Ｐ涂梢砸远喾N方式處理此類數(shù)據(jù)，但是對于剛開始使用的術(shù)語，尤其是跨學(xué)科的術(shù)語，可能有點令人生畏。
關(guān)于混合模型，您可能會遇到一些術(shù)語：
Random intercepts and slopes 隨機(jī)截距和斜率
Random effects 隨機(jī)效應(yīng)
Random coefficients 隨機(jī)系數(shù)
Varying coefficients 系數(shù)變化
Intercepts and slopes-as-outcomes 攔截和結(jié)果傾斜
Hierarchical linear models 分層線性模型
Growth curve models (possibly Latent GCM) 增長曲線模型（可能是潛在的GCM）
Mixed effects models 混合效果模型
所有描述混合模型的名稱， 有些可能更具歷史性，有些則更多地出現(xiàn)在特定學(xué)科中，有些則可能引用某種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（例如多級群集），而另一些則是特殊情況。
混合效應(yīng)或簡單混合模型通常是指固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)的混合。我更喜歡混合模型一詞，因為它很簡單并且沒有暗示特定的結(jié)構(gòu)。
首先，讓我們從標(biāo)準(zhǔn)線性模型開始，以熟悉該表示法。為了使事情盡可能簡單，同時又可以推廣到常見數(shù)據(jù)情況，我將假設(shè)一些感興趣的變量y和一個連續(xù)/數(shù)字協(xié)變量。
這里：
e 是殘差，它滿足平均數(shù)為0，方差為Ve的正態(tài)分布 如果寫為矩陣的形式：
μ = X %*% β在嘗試達(dá)到平衡時，我懷疑這種方法可能會在不同程度上成功或失敗，但是在符號和代碼之間（很多教科書演示中都缺少這種東西），我希望事情會很清楚。
讓我們看一些數(shù)據(jù)，開始考慮混合模型。我將使用lme4軟件包中的sleepstudy數(shù)據(jù)。以下描述來自相應(yīng)的幫助文件。
? 睡眠剝奪研究對象每天的平均反應(yīng)時間。在第0天，受試者具有正常的睡眠量。從那天晚上開始，他們每晚只能睡3個小時。觀察結(jié)果代表每天對每個受試者進(jìn)行的一系列測試的平均反應(yīng)時間（以毫秒為單位）。
? 讓我們使用標(biāo)準(zhǔn)的線性模型來探討持續(xù)睡眠剝奪對反應(yīng)時間的影響。
這里用線性回歸模型，Days為x變量，Reaction為y變量（還有人和我一樣，對因變量和自變量摸不著頭腦的么，用x變量和y變量更容易理解有沒有?。?/p># > data(sleepstudy, package='lme4')
在天數(shù)為正的情況下，我們看到更多的睡眠剝奪會導(dǎo)致反應(yīng)時間增加/變慢。但是讓我們繪制數(shù)據(jù)。
因此，我們要考慮數(shù)據(jù)的集群性質(zhì)。與其像上面的SLiM中那樣忽略聚類，不如考慮為每個人運(yùn)行完全獨(dú)立的回歸。但是，這些模型通常只需要很少的數(shù)據(jù)就可以運(yùn)行，并且會被過度上下文化。正如我們將看到的，混合模型將允許每個人的隨機(jī)截距和斜率，并在不因個人而異的情況下考慮聚類。
如何描述這個模型？事實證明，它可以并且以多種方式顯示，具體取決于您正在查看的文本或文章。以下內(nèi)容受Gelman＆Hill（2007）的啟發(fā)，他們展示了編寫混合模型的五種方法。為簡單起見，我們通常只關(guān)注隨機(jī)截距模型，但有時會超出該范圍。前幾對公式僅需要了解標(biāo)準(zhǔn)回歸模型，但其他模型描述則需要更多知識。
這里，設(shè)置：Va = 0.50.5 = 0.25
Ve = 1 1 =1
隨機(jī)因子blup：gamma_
截距：3
固定因子blue：0.75
# setup「使用lme4包運(yùn)行」
library(lme4)
提取blup值：
「asreml代碼」
> library(asreml)結(jié)果是一致的
比較設(shè)定的blup值和計算的blup值的相關(guān)系數(shù)：
> cor(gamma_,coef(mod1)$random)sleepMod = lmer(Reaction ~ Days + (Days|Subject), data=sleepstudy)> # sleepstudy 數(shù)據(jù)查看每個subject的效應(yīng)值以及截距：
> ranef(sleepMod)如果我們對其進(jìn)行作圖：
我們可以看到混合模型的好處，因為我們會有結(jié)合了個體特定影響的預(yù)測，預(yù)測的更準(zhǔn)確。
我將簡要提及其他一些主題，但這些主題不會改變到目前為止討論的一般方法。
增加分組的協(xié)變量（Cluster level covariates ） 注意隨機(jī)因子是鑲嵌結(jié)構(gòu)，還是交互結(jié)構(gòu) 你可能注意lme4包中沒有給出p-value值，軟件不會直接給出（除非用的是貝葉斯框架），其它軟件包給出p-value，不一定說明他就是正確的。 隨機(jī)因子有關(guān)系矩陣？響應(yīng)變量是二分類？還有很多問題需要考慮，有些數(shù)據(jù)不適合用混合模型去分析 在模型描述和代碼之間，希望您對標(biāo)準(zhǔn)的混合模型框架有了很好的了解?；旌夏Ｐ褪菍?biāo)準(zhǔn)glm的非常靈活的擴(kuò)展，可以直接與加性模型，空間模型和其他模型建立聯(lián)系，因此可以將它們帶到很遠(yuǎn)。我可以說在lme4，mgcv和brms之間，將有很多很多方法可以以多種方式瀏覽其數(shù)據(jù)。祝您研究順利！
? Bates, Douglas, Martin M?chler, Benjamin Bolker, and Steven Walker. 2015. “Fitting Linear Mixed-Effects Models Using Lme4.”
Fahrmeir, Ludwig, Thomas Kneib, Stefan Lang, and Brian Marx. 2013. “Regression.”
Gelman, Andrew, and Jennifer Hill. 2007. “Data Analysis Using Regression and Multilevel/Hierarchical Models.”
Gelman, Andrew, John Carlin, Hal Stern, David Dunson, Aki Vehtari, and Donald Rubin. 2013. “Bayesian Data Analysis.”
Wood, Simon. 2006. “Generalized Additive Models.”
? 英文原文：https://m-clark./docs/mixedModels/mixedModels.html#standard_linear_model
「個人公眾號：育種數(shù)據(jù)分析之放飛自我」
這告訴我們什么？黑線是我們當(dāng)前模型的建議，即假設(shè)每個人的出發(fā)點和軌跡都相同。但是，我們看到對象的起點可能相差100毫秒之多。此外，雖然斜率通常為正，但有些斜率隨時間變化很小甚至沒有變化。換句話說，個人的截距和坡度都有明顯的變化。我們將在最后討論這些數(shù)據(jù)。
在上面，c簇內(nèi)的每個觀測i都有一個截距α，這取決于它所屬的c簇。αc假設(shè)為正態(tài)分布，平均μα和方差τ2。μα是我們在SLiM方法中看到的總截距。e是SLiM中描述的正態(tài)分布的平均零。對于每一個模型描述，我將注意到一個主要的參考，在那里人們可以看到它的形式與特定的文本或文章幾乎相同。它將不是唯一一個這樣做的引用，但至少它應(yīng)該是一個提供一些額外視角的引用。
