要理解矩陣乘積，首先得理解矩陣。

一、什么是矩陣

在線性代數(shù)里，矩陣的身影隨處可見甚至我們一直在算矩陣，可矩陣到底是什么東西，矩陣乘積又為什么這么規(guī)定呢，而且這樣一種怪異的乘法規(guī)則在實踐中也不會出現(xiàn)什么問題......

事實上，矩陣代表了一個特定的線性變換。

我們知道線性變換是操縱空間的一種手段，這種變換不用去觀察，只需要幾個數(shù)字就能描述清楚，那就是變換后基向量的坐標列，以這些坐標為列所構(gòu)成的矩陣為我們提供了一種描述線性變換的語言，所以說矩陣就是線性空間里線性變換的描述。

二、矩陣與線性變換

而對于一個線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。當然，這一句話里面還隱藏了一個信息：矩陣還可以作為一組基的描述，比如我們最常見的單位矩陣I，它的列向量就可以看作一組基，而且不要忘記我們也會把矩陣稱為列向量組或者行向量組。

向量是線性空間的基本研究對象，按理說要把向量表示出來，就要把它放在一個坐標系中去度量它，然后把度量的結(jié)果（向量在各個坐標軸上的投影值）按一定順序列在一起，這就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的坐標系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的坐標系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應該聲明一下這個表示是在哪個坐標系中度量出來的。表示的方式是Ma，也就是說有一個向量，在M矩陣表示的坐標系中度量出來的結(jié)果為a。M矩陣表示出來的那個坐標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個坐標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣也應該要指明其所處的基準坐標系。所謂M其實是IM，也就是說，M中那組基的度量是在I坐標系中得出的。

三、矩陣乘積

根據(jù)上述視角來看，M×N不是什么矩陣乘法，而是聲明了一個在M坐標系中量出的另一個坐標系N，其中M本身是在I坐標系中度量出來的。從變換角度來講，矩陣乘積表示兩個線性變化先后作用。如果把N看作是坐標系的一組基，那么M×N也可以理解成對組成坐標系N的每一個向量施加M變換。

我們知道，矩陣既可以描述變換還可以描述坐標系。舉個例子來看，比如要把點(1,1)變到點(3,4)去，可以有兩種做法。

第一，坐標系不動，點動，把(1,1)點挪到(3,4)去。

第二，點不動，坐標系動，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/3，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/4，這樣點還是那個點，可是點的坐標就變成(3,4)了。

方式不同，結(jié)果是一樣的。第一種方式刻畫的就是矩陣用來描述變換，第二種方式刻畫的就是矩陣可以用來描述坐標系。

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