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微分方程練習（一）

 ldjsld 2021-11-05
微分方程是高等數(shù)學里十分重要的一章內(nèi)容，除了本身內(nèi)容的直接考查，還有很多與其它知識點結(jié)合考查的綜合題，比如與函數(shù)微分學相關(guān)聯(lián)、與冪級數(shù)聯(lián)系，與“曲線積分與路徑無關(guān)”這一知識點等等，需要認真掌握相關(guān)內(nèi)容。

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在數(shù)學里，自變量和因變量是相對的，有時交換彼此地位，將有意想不到的效果。對于一階線性微分方程可以通過常數(shù)變易法求解，亦可通過通解公式求取。

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下面這道微分方程的題目，方法一通過整理為伯努利方程，進而求解；方法二整理為齊次方程來求解。無論哪種處理，都要對該類型方程運用典型方法熟練求解。

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      下面這道微分方程是可降階的高階微分方程，要注意其特點：是不顯含y，這樣解法問題迎刃而解。

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求解二階非齊次線性方程，首先對線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)要清晰：非齊次線性微分方程的通解由其所對應(yīng)的齊次方程的通解加上自身的一個特解。對于特解的求取，要根據(jù)方程右端函數(shù)f(x)的形式，運用待定系數(shù)法求出。

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最后來看一道相對綜合的題目，就是與“曲線積分路徑無關(guān)”這一知識點結(jié)合的問題。解決思路非常直接，就是運用曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件，進而將問題轉(zhuǎn)化為微分方程問題。

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我們常說常數(shù)微分方程求解的思路是先判斷方程的類型，然后按理論方法求解即可。但實際做題時可能過程比較復雜，比如可能需要整理或處理才能判定方程類型，也可能在計算過程出現(xiàn)這樣那樣的問題，這需要一方面理論清楚，另一方面是嫻熟的計算能力。多動手練習，收益會比較大。

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