《下學葊算書》之解任意三角形謬誤題(19)

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：本文取自清?項名達著《下學葊算書》之平三角和較術(shù)，主要涉及任意三角形，知其一角及角旁邊，亦知角之對邊與余邊之和或差，求其兩余角及兩未知邊。唯項名達之算法有誤。

關鍵詞：角旁邊  對邊  余切 半角正切

本文取自清?項名達著《下學葊算書二?平三角和較術(shù)?三角形》。

項名達之所謂“平三角”乃指平面三角形；“和較”指三角形邊與邊之間之和與差?！叭切巍眲t指任意三角形，本文即解一已知條件之任意三角形。

筆者已有文名為〈《下學葊算書》之“夾邊和較法”解任意三角形 (18)〉，本文乃其延續(xù)。

已知一任意三角形之一角及角旁邊，亦知角之對邊與余下邊之和或差，求其兩余角及兩未知邊。本文只有兩題，但兩題《下學葊算書》均有誤。

宜注意正弦及余弦定理之應用。

平三角和較術(shù)

三角形

﹝三﹞有一角，有角旁邊，有對邊與余邊較，求旁一角。

解：

題意指已知一任意三角形之一角∠ZYX = θ及此角之旁邊 ZY = x =b，又知θ 角之對邊 XZ 與余下邊 XY 之差，即已知z – y = d，求余下之兩角及兩未知邊之長。

先作出如下之圖：

已知 ∠Y = θ，其已知旁邊長為 b。作 XZ = XR，連 RZ，?XZR 是一等腰三角形，而 z – y = d。又設∠ZYR = ∠XZR = ∠XRZ = β。θ 對邊與余下邊之夾角為φ 為未知數(shù)。求三角形余下兩角，今先求 φ。求得 φ 后即可得余下之一角。

從上圖可知：β = (90^o –) ------------------------ (1)

cos β = cos (90 –) = sin，

在 ? ZYR 中，依正弦定理得∠ZRY：b = ∠RZY：d，

即 =

=

d sin β = b sin β cosθ – bcos β sin θ

以 (1) 代入得 d sin (90 –) = bsin (90 –)cos θ– b sinsin θ

d cos= b coscos θ – b sinsin θ

d= b cos θ – b tansin θ

b tansin θ = b cos θ – d

tan= cot θ –csc θ。

即 = tan ^{– 1} [cot θ –csc θ]

φ = 2 tan ^{– 1} [cot θ –csc θ]。

《下學葊算書》曰：

法以兩邊校，與角旁邊相加為一率，相減為二率，半角正切為三率，求得四率，即對余邊之半角正切﹝此題須審兩邊較為對邊大于余邊之較，三四率用正切，為對邊小于余邊之較，三四率應用余切。﹞

清代數(shù)學界流行所謂“比例四率”，即 = ，移項得：

四率 = 。

以兩邊校，與角旁邊相加為一率，即 b + d，相減為二率，即b – d。半角正切tan 為三率，其式為：tan= tan。

不合筆者之答案。

今以以下之圖及數(shù)字驗算：

已知一三角形XYZ， YZ = 2，ZX = 6.692，XY = 7.464 及 ∠Z = 105^o。

已知 z – y = 7.464 – 6.692 = 0.772 = d，θ = 60^o，

又已知 x = b = 2，根據(jù)筆者結(jié)果：

tan= cot θ –csc θ = cot 60^o –csc 60^o = 0.13163。

 = 7.5 ^o，即可知φ = 15 ^o，與設定之答案配合，即筆者之上式答案正確。

從上文可知，《下學葊算書》之式為：

tan= tan。

代入數(shù)字驗算得 tan = tan 30^o =tan 30^o= 0.2557。

= 14.3^o。不配合答案，其式有待研究。

至于求兩夾邊之法，《下學葊算書》又曰：

若先求邊，則以角余弦乘兩邊較，半徑除之，與角旁邊相加為一率，角余弦乘角旁邊，半徑除之，與兩邊較相加為二率，角旁邊為三率，求得四率，即兩邊和。乃與兩邊較相加減，各折半得兩邊﹝兩邊較對邊大者，一二率各用加法；對邊小者，一二率各用減法﹞。

項名達算法先算出z + y，即兩邊之和。又設半徑 = r。

則以角余弦乘兩邊較，半徑除之，即d cos θ/r；與角旁邊相加為一率，即一率為 d cos θ/r + b；角余弦乘角旁邊，半徑除之，與兩邊較相加為二率，即bcos θ/r – d；角旁邊b為三率，即四率為：

z + y = = ，此數(shù)即為兩邊和，又設 r = 1，

則上式可寫成z + y = 。

今依照《下學葊算書》之法先求兩邊之和，先作圖如下：

以下為筆者之算法：

以 XYZ 為主三角形。已知 ∠Y = θ，其已知旁邊長為 ZY = b。延長 YX 至 T，作 XT = XZ = y，連 TZ，所以 ?XZT是一等腰三角形，其兩相等之底角為，為已求得之數(shù)﹝見前﹞，∠ZXY = φ，求 z + y 。

∠TZY = 180^o – (θ + φ/2) ，sin (180^o – θ –) = sin (θ +)，

在 ? ZYT 中，依正弦定理得=

y + z = = = b sinθ cot + b cos θ。

因為 tan= cot θ –csc θ = –= ，

所以 cot= 。

b sinθ cot + b cos θ

= b sinθ () + b cos θ

=

=。

《下學葊算書》之 兩邊和式與上式有出入。

筆者以余弦定理計算如下。

以下為余弦定理 y² = x² + z²– 2xz cos θ ，今設 ZY 為 y，XY 為 z = y + d，依題意可列出以下之方程式：

y² = b²+ (y + d)² – 2b(y + d) cosθ

y² = b²+ y² + d² + 2dy – 2by cos θ – 2bd cos θ

0 = b² + d² + 2y(d – b cos θ)– 2bd cos θ

2y(d – b cos θ) = –b² – d² + 2bd cos θ

y = =。

因此另一邊長z = + d

=

=。

兩邊和為z + y = +

=

=。

與前之結(jié)果脗合。故《下學葊算書》之  式有誤。

今求 z之長以作驗證：

z = = = = 7.46495。

合預設之數(shù)，此結(jié)果進一步證明筆者之式正確。

﹝四﹞有一角，有角旁邊，有對邊與余邊和，求旁一角。

解：

題意指已知一任意三角形之一角θ 及此角之旁邊 ZY = x =b，又知 θ 角之對邊 XZ 與余下邊XY 之和，即已知 z + y = s，求余下之兩角及兩邊之長。

先作出如下之圖：

以 XYZ 為主三角形。已知 ∠Y = θ，其已知旁邊長為 b。延長YX 至 T，作 XT = XZ，連 TZ，所以 ?XZT是一等腰三角形，其兩相等之底角為 ，今設 ∠ZXY = φ 為未知數(shù)，而 z + y = s 為已知數(shù)。

又設 ∠XZY = β。θ 對邊y與余下邊 z之夾角為φ。求三角形余下兩角，今先求φ。

從上圖可知：在 三角形 TZY 中，∠TZY = β + = (180^o – θ –)，

所以 sin (180^o – θ –) = sin (θ +)，

在 ? ZYT 中，依正弦定理得=

bsin (θ +) = s sin

bsin θ cos+ b cos θ sin= s sin

bsin θ cot+ b cos θ = s

cot= (s – b cos θ) = csc θ – cot θ。

即 = cot ^{– 1} [csc θ – cot θ]

φ = 2 cot ^{– 1} [csc θ – cot θ]。

《下學葊算書》曰：

法以兩邊和，與角旁邊相加為一率，相減為二率，半角余切為三率，求得四率，即對余邊之半角正切。

仍用“比例四率”，即 = ，移項得：四率 = ，

以兩邊和，與角旁邊相加為一率，即 s + b，相減為二率，即s – b。半角余切cot 為三率，其式為：tan=  cot。

不合筆者之答案。

今以以下之圖驗算：

已知一三角形XYZ， YZ = b = 2，ZX = 6.692，XY = 7.464 及 ∠Z = 105^o。

已知 z + y = 7.464 + 6.692 = 14.156 = s，x = b = 2，θ = 60^o，

根據(jù)筆者結(jié)果：

cot = csc θ – cot θ = csc 60^o – cot 60^o = 8.17297 – 0.57735

= 7.59562。

 = 7.5 ^o，即可知φ = 15 ^o，與設定之答案配合，即上式答案正確。

《下學葊算書》之式為：tan=  cot。

代入數(shù)字驗算得  cot = cot 30^o = × 1.73205 =1.30322。不配合答案，其式有待研究。

至于求兩夾邊之法，《下學葊算書》又曰：

若先求邊，則以角余弦乘兩邊和，半徑除之，與角旁邊相減為一率，角余弦乘角旁邊，半徑除之，與兩邊和相減為二率，角旁邊為三率，求得四率，即兩邊較。乃與兩邊和相加減，各折半得兩邊。

項名達算法先算出z – y，即兩邊之差。同上題，又設半徑 = r。

則以角余弦乘兩邊和，半徑除之，即s cos θ/r，與角旁邊相減為一率，即
s cos θ/r – b；角余弦乘角旁邊，半徑除之，與兩邊和相減為二率，即
s – b cos θ/r；角旁邊為三率，即 b；其式為：

z – y = = ，若 r = 1得最右式。

今依照《下學葊算書》之法先求兩邊之差，作圖如下：

已知 ∠Y = θ，其已知旁邊長為 ZY = x = b。作 XZ = XR = y，連 RZ，所以 ?XZR是一等腰三角形，今 φ 已算出，求 z – y 。

在 ? ZYR 中，∠RZY = β – θ = (90^o –) – θ= 90^o – (+ θ)。

又在 ? ZYR 中，依正弦定理得=

=

z – y = =

= b cos θ – b tansin θ。

因為cot = csc θ – cot θ = –= 。

tan = 。

所以b cos θ – b tansin θ

= b cos θ – b ()sin θ

=

=

=。此式與《下學葊算書》之式有出入。

筆者以余弦定理計算如下。

以下為余弦定理 y² = x² + z²– 2xz cos θ ，今設 ZY 為 y，XY 為 z = s – y ，依題意可列出以下之方程式：

y² = b²+ (s – y)² – 2b(s – y) cos θ

y² = b²+ y² + s² – 2sy – 2bs cos θ + 2by cos θ

0 = b² + s² – 2y(s – b cos θ)– 2bs cos θ

2y(s – b cos θ) = b² + s² – 2bscos θ

y = 。

因此另一邊長z = s –

=

=。

所以 z – y =  –

=

=

=

=。此式配合筆者算出之上式。

今以前圖數(shù)字驗證：

z = = = = 7.4640。

與原設數(shù)字配合，故筆者算出之上式正確。

以下為《下學葊算書》原文：