廣東省廣州市廣州中學(xué)(510000) 林俊平

摘要 二項(xiàng)式展開(kāi)中,括號(hào)里有三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的時(shí)候求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)時(shí),用組合數(shù)解法顯得簡(jiǎn)潔快捷,充分體現(xiàn)對(duì)課本深度學(xué)習(xí)的好處,而且教會(huì)學(xué)生知識(shí)遷移能力.

關(guān)鍵詞 深度學(xué)習(xí);二項(xiàng)式展開(kāi);組合數(shù)

1 (a+b)n 的展開(kāi)式是什么?

探究：如何利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理得到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4 的展開(kāi)式? 繼而猜想一下(a+b)n 的展開(kāi)式是什么?

(1)根據(jù)乘法公式將(a+b)2,(a+b)3 展開(kāi),并將各項(xiàng)系數(shù)用組合數(shù)表示,有下列結(jié)論：

①(a+b)2 =a2+2ab+b2 =C02a2+C12ab+C22b2;

②(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 =C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.

(2)類比上述方法,將(a+b)4 展開(kāi),你能得到什么?

(a+b)4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各項(xiàng)都是4次式, 即展開(kāi)式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)： a4,a3b,a2b2,ab3,b4,展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)：上面4 個(gè)括號(hào)中, 每個(gè)都不取b 的情況有1 種, 即C04 種, a4 的系數(shù)是C04; 恰有1 個(gè)取b 的情況有C14 種, a3b 的系數(shù)是C14, 恰有2 個(gè)取b 的情況有C24種, a2b2 的系數(shù)是C24, 恰有3 個(gè)取b 的情況有C34 種, ab3的系數(shù)是C34,有4 都取b 的情況有C44 種,b4 的系數(shù)是C44,∴(a+b)4 =C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a3b+C44b4.

(3)將(a+b)n 展開(kāi)呢?

2 歸納總結(jié),二項(xiàng)式定理

(a+b)n = C0nan +C1nanb+···+Crnan-rbr +···+Cnnbn(n ∈N?),該定理有什么特征?

(1)(a+b)n 的展開(kāi)式的各項(xiàng)都是n 次式,即展開(kāi)式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)： an,anb,··· ,an-rbr,··· ,bn,

(2)展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)：

上邊有n 個(gè)括號(hào),則每個(gè)括號(hào)都不取b 的情況有1 種,即C0n 種,an 的系數(shù)是C0n;

恰有1 個(gè)取b 的情況有C1n 種,anb 的系數(shù)是C1n,……;

恰有r 個(gè)取b 的情況有Crn 種, an-rbr 的系數(shù)是Crn,……;

有n 個(gè)都取b 的情況有Cnn 種,bn 的系數(shù)是Cnn;

∴(a+b)n = C0nan+C1nanb+···+Crnan-rbr +···+Cnnbn(n ∈N?),這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理,右邊的多項(xiàng)式叫(a+b)n 的二項(xiàng)展開(kāi)式.

(3)它有n+1 項(xiàng),各項(xiàng)的系數(shù)Crn(r =0,1,··· ,n)叫二項(xiàng)式系數(shù).

(4)Crnan-rbr 叫二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),用Tr+1 表示,即通項(xiàng)Tr+1 =Crnan-rbr.

下面重點(diǎn)介紹一下課本上沒(méi)有明說(shuō)而很多師生容易忽視的一種簡(jiǎn)單明了的解題方法：用組合知識(shí)如何求某一項(xiàng)的系數(shù)? 尤其是括號(hào)里面有三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的時(shí)候求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)時(shí)優(yōu)勢(shì)特別明顯.

例1 求(x2+4x-5)4 的展開(kāi)式中x 一次項(xiàng)的系數(shù)

(1)通常解法分析：要把上式展開(kāi),必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來(lái),看成一項(xiàng),才可以用二項(xiàng)式定理展開(kāi),然后再用一次二項(xiàng)式定理,也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積,再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).

解：(法一)

顯然,上式中只有第四項(xiàng)中含x 的項(xiàng),∴展開(kāi)式中含x 的項(xiàng)的系數(shù)是C34 ·4·(-5)3 =-2000.

(法二)：

∴展開(kāi)式中含x 的項(xiàng)的系數(shù)是-C3454+C3453 =-2000.

(2)組合知識(shí)解法： x 的一次項(xiàng)是： C14(4x)C33(-5)3 即系數(shù)為C144(-5)3 =-2000.

用這個(gè)組合數(shù)解法簡(jiǎn)潔快捷,優(yōu)勢(shì)特別明顯,這就是課本深度學(xué)習(xí)的好處,而且教會(huì)了學(xué)生知識(shí)遷移能力.

例2 求(x2-x-y)5 的展開(kāi)式中,x5y2 的系數(shù)為_(kāi)___.

解：方法一,利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解．

(x2-x-y)5 =(x2-x)-y5, 含y2 的項(xiàng)為T(mén)3 =其中(x2-x)3 中含x5 的項(xiàng)為C13x4·(-x)=-C13x5.所以x5y2 的系數(shù)為-C25C13 =-30.

方法二,利用組合知識(shí)求解．

(x2-x-y)5 為5 個(gè)x2 - x-y 之積, 其中某兩個(gè)括號(hào)里面取-y, 剩下的3 個(gè)取括號(hào)中某兩個(gè)括號(hào)里面取x2, 剩下的1 個(gè)括號(hào)里面取-x 即可, 所以x5y2 的系數(shù)為-C25C23 =-30.

例3(3-2x-x4)·(2x-1)6 的展開(kāi)式中,含x3 項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)___.

解：由排列組合知識(shí)可知, 展開(kāi)式中x3 項(xiàng)的系數(shù)為3×C3623(-1)3-2×C4622(-1)4 =-600.

例4 (1+)(1-x)6 的展開(kāi)式中x2 的系數(shù)為_(kāi)___.

解：(1+)(1-x)6 的展開(kāi)式中含x2 的項(xiàng)為1·C26(-x)2和(-x)4.所以(1+)(1-x)6 的展開(kāi)式中x2 的系數(shù)為30.

例5 (x-y)(2x+y)5 的展開(kāi)式中x3y3 的系數(shù)為_(kāi)___.

解：當(dāng)前一個(gè)括號(hào)中取出x 時(shí),其系數(shù)為C35 ·22 = 40,當(dāng)前一個(gè)括號(hào)中取出-y 時(shí),其系數(shù)為-C25 ·23 = -80.所以x3y3 的系數(shù)為-80+40=-40.

例6 (x-2y)2(x2+x-3)5 的展開(kāi)式中x3y2 的系數(shù)為_(kāi)___.

解：x3y2 的系數(shù)為C22(-2)2·C15C14(-3)3+C35(-3)2=-1800,用組合知識(shí)求解這一類題目就是對(duì)課本知識(shí)的深度思考和理解.