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湖北十一校聯(lián)考拋物線大題的解法

與極點極線背景

湖北省陽新縣高級中學(xué)     鄒生書

21.已知動點P在x軸上及其上方，且點P到點F(0,1)的距離比到x軸的距離大1.

（1）求求點P的軌跡C的方程；

（2）若點Q是直線y=x-4上任意一點，過點Q作點P的軌跡C的兩條切線QA,QB，其中A,B為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該點的坐標(biāo)。

解析：（1）法1（參考答案解法）

法2：設(shè)點P(x,y)依題意點P到點F(0,1)的距離與它比到直線y=-1軸的距離相等，所以點P的軌跡是以點F為焦點以直線y=-1為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為x²=4y.     

（2）法1（參考答案解法）

點評：比較解法2和解法3知，解法2顯得曲折迂回，似乎走了彎路。

法4：由圓錐曲線極點極線的知識知，若直線AB過定點M(x₀,y₀)，則拋物線在點A,B處的兩條切線的交點Q必在點M所對應(yīng)的極線x₀x=2(y+y₀)上，依題意點Q在直線y=x-4上，所以直線y=x-4就是點M所對應(yīng)的極線，由y=x-4得2x=2(y+4),比較得x₀=2,y₀=4所以直線AB過定點(2,4).

另解：也可由x₀x=2(y+y₀)得y=0.5x₀x-y_0，與y=x-4比較得x₀=2,y₀=4，所以直線AB過定點(2,4).