第二節(jié) 數(shù)學命題的教學 數(shù)學中的定義、公理、定理、公式、性質和法則等都是數(shù)學命題。由于數(shù)學命題是把概念聯(lián)系起來，形成完整的數(shù)學學科的主干內容，因此，只有掌握好數(shù)學命題，才能通曉數(shù)學的體系結構，學好數(shù)學。有效的數(shù)學命題教學，有助于學生牢固掌握數(shù)學知識的結構，有助于數(shù)學思維的發(fā)展和解決問題能力的提高。數(shù)學命題教學的基本任務，是使學生認識命題的條件、結論，掌握數(shù)學命題的內容和表達形式，掌握命題的推理過程或證明方法，運用所學的數(shù)學命題進行計算、推理或論證，提高數(shù)學基本能力，解答實際問題。并在此基礎上，熟悉基本的數(shù)學思想和數(shù)學方法，弄清數(shù)學命題間的關系，把學過的命題系統(tǒng)化，形成結構緊密的知識體系。一.公理的教學數(shù)學公理是無條件承認的相互制約的規(guī)定，是一些不證自明的命題。在理論形式上，公理是邏輯推理的大前提，是數(shù)學需要用作自己的出發(fā)點的少數(shù)思想上的規(guī)定,它們的真實性不是由邏輯推理來確定的，而是經過人類長久以來的實踐直接證實的。中學數(shù)學中的公理，大多出現(xiàn)在幾何教材里。數(shù)學中的公理體系，要滿足相容性、獨立性和完備性。但是，對于中學生來說，完整的數(shù)學公理體系內容太多、太深，現(xiàn)行的初中幾何教材采取擴大的歐式公理體系，來解決這個矛盾。在這個擴大的歐式公理體系中，所列的公理既有多余的，又有不足的，在獨立性和完備性上都是不夠嚴格的。在具體展開時，按照教學內容和學習順序，根據(jù)需要逐步提出來。這樣編排教材，既減少了學生學習上的困難，又有利于培養(yǎng)學生的推理能力。既然公理是不加證明的命題，其真實性又是長期生活、生產實踐總結出來的，在中學數(shù)學中又是證明其他命題的出發(fā)點，所以，在教學中應該讓學生很好地理解公理的真實性。這就要從日常生活中所熟知的實際事例或從給學生提供的實驗資料等直觀因素中，歸納地引進公理。1.從學生熟悉的事例歸納出公理。通過學生熟知的社會生活和生產實踐中的事例來說明公理的含義和現(xiàn)實來源，使學生體會到公理的真實性和意義。這對于培養(yǎng)學生的辯證唯物主義世界觀是有重要意義的。例如，在教學公理“兩點確定一條直線”時，可以舉出以下學生熟悉的事例：木工通過木板上的兩點可以彈出一條直的墨線；園林工人在人行道上植樹時，只要先定出兩棵樹的位置，就能定出一行樹所在直線的位置；射擊隊員將槍上的“缺口”和“準心”兩點確定的一條直線，延長后對準目標，即可射擊命中；等等。還可在教學中做實驗：在黑板上固定一點，可以引出無限多條直線；但再固定一點，兩點間的連線就只能有一條，作不出第二條直線來。在此基礎上，學生就會自然地用數(shù)學中的幾何語言歸納出公理“兩點決定一條直線，并且只能有一條直線?！?.在學生實踐的基礎上歸納出公理。例如，讓學生用三角板推移的方法作出“過直線外一點且與已知直線平行的直線”；經過實踐歸納出公理：“過已知直線外一點有一條直線和已知直線平行”；然后，讓學生在原圖上將三角板換一個角度再作同樣的已知直線的平行線。實踐結果表明：兩次所畫的平行線重合，從而又進一步歸納出公理：“過已知直線外一點只有一條直線和已知直線平行”。綜合起來就得出了平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行。3.通過適當?shù)木毩?，讓學生鞏固掌握結論、增加對公理認識的現(xiàn)實感，并學會將學到的公理作為演繹推理的依據(jù)和出發(fā)點，去推理證明其他問題。二.定理的教學數(shù)學定理包括代數(shù)中的公式、法則和幾何中的定理、推論。在定理的教學中，要使學生認識定理的條件和結論；了解怎樣探索證明的途徑；明確定理的適用范圍；掌握相關定理間的內在聯(lián)系。為了達到上述教學目的，在定理教學中應該注意以下幾方面。1.定理的引入。這是定理教學的一個重要環(huán)節(jié)，這一環(huán)節(jié)處理的好壞，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力有直接的影響 通過實踐、探索、猜想發(fā)現(xiàn)命題。在教學中有目的提出一些供研究、探討的素材，對學生進行必要的啟示引導，讓學生在一定的情境中獨立思考，通過運算、實踐或觀察、分析、類比、歸納、作圖等步驟，探索規(guī)律、提出猜想、形成命題，然后再設法證明，獲得定理。例如，“三角形內角和定理”，可以通過剪紙法把三角形三內角拼成一個平角或通過三內角的度量計算出三內角的和，從 而發(fā)現(xiàn)定理；球的體積公式可以通過細 沙實驗來探討；“兩數(shù)和的平方公式” 可以通過多項式的乘法進行計算得出， 也可以通過作圖（如圖4-2），引導學生 分析圖形中面積之間的關系得出。（2）通過已學過的定理過渡遷移引入。例如勾股定理表達了直角三角形三邊的關系，由此聯(lián)想到任意的三角形三邊之間關系能否用公式表達，從而引出余弦定理的課題。這種引入方法，使學生感到新定理并不孤立，是舊知識的延拓和發(fā)展，同時也能培養(yǎng)學生按知識系統(tǒng)和結構去探索新知識的能力。2.認識定理的結構認識定理的結構是證明定理的基本出發(fā)點，它的主要任務是幫助學生分辨定理的條件和結論，發(fā)掘定理