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這里繼續(xù)闡述數學思維中的辯證法和辯證思維，這里講內隱與外顯，并用數學中的迭代重復、遞歸、分形、歸并來闡述如何利用折疊與展開、分與合來揭示內隱的模式，讓內隱還原或凸顯。 內隱從字面上很好理解，它的反義詞是外顯，顯性的，內隱就是內部隱藏，隱性的。 最大的外顯是光天化日，最大的內隱是朗朗乾坤下的熟視無睹，例如數學中的關系思想，一直被研究數量關系結構關系的數學界埋沒，這就是內隱。 內隱知識 內隱知識：為個人主觀的經驗性、模擬性、具各別情境特殊性的知識，通常無法直辨認，保存于人身上、制程、關系等形式中，所以難以透過文字、程序或圖形具體調列規(guī)劃之形式向外傳遞，此類知識之傳遞較為費時。 內隱知識的一種表現是實踐智力。實踐智力主要是是反應在日常生活中。成功的實踐性智力可以產生解決實際生活中問題的好辦法，這是是隱性知識。盡管目前對于隱性知識還沒有一個明確的定義，但已有一些共識，比如隱性知識是存在于個人頭腦中的、在特定情景下的、難以明確表述的知識，它的獲得一般很少通過他人的幫助或者環(huán)境的支持來習得，必須通過個人親自去體驗、實踐和領悟來獲得。隱性知識與個人經驗有很大的關系，而且它對一個人價值目標的實現起著至關重要的作用，因此具有實際的價值。具有實踐性智力的個體，其標志就是容易獲得并且使用隱性知識。所以在知識經濟時代，不僅僅應該傳授顯性知識，更應該注重挖掘學生的隱性知識，幫助他們獲得并且運用隱性知識，從而實現知識的創(chuàng)新。 本質&模式&關系&信息&特征的內隱 道德經有云：孔德之容，惟道是從。道之為物，惟恍惟惚。惚兮恍兮，其中有象；恍兮惚兮，其中有物。窈兮冥兮，其中有精；其精甚真，其中有信。 萬事萬物中都蘊含有信息、關系、本質規(guī)律、本質模式，它們蒙上面紗內隱在事物之中。內隱顯然增加了人類認識事物的難度，人類的科技進步就是不斷探索宇宙萬物內隱的各種信息、關系、規(guī)律、本質、模式，揭示它們，通過理論化讓它們外顯。 內隱的折疊與展開 這里用一道數學題來闡述內隱的折疊與展開。 解方程  觀察這題，顯然用蠻力直接將方程式左邊展開是下策，在沒有找到其他方法情況下可使用。 觀察可以發(fā)現方程式存在一種特征模式，方程式左邊是平方減6的重復嵌套或者稱循環(huán)嵌套模式，類似迭代、遞歸或分形幾何中的現象，且這種重復模式是緊湊的，也就是它折疊或者說壓縮在一個方程式中，就像文件壓縮或折疊手機一樣，它會造成內隱效應，也就是這種折疊會讓一些本質規(guī)律、模式、特征、關系、信息隱身或半隱身，導致我們難以發(fā)現它們，要有慧眼去洞察發(fā)現。 有多種手段實現內隱，例如各種變換、代換變形，我們通過觀察，識別出了這個方程的內隱手段，就是折疊，緊湊地聚集在一塊。 根據辯證思維和逆向思維，要反其道而行，折疊就要聯想到展開，合與分，合久必分，分久必合。 回到本題，既然折疊在一個方程式中，就要展開變成多個方程式，這樣就可能會讓內隱的東西外顯，讓它們還原或凸顯現身。 具體的展開手段是換元法，如下。  可見，原方程展開或解壓變成兩個方程式1）和2）。通過這樣的變化，我們期望能發(fā)現內隱的一些東西(本質規(guī)律、模式、信息、關系等)，并利用這些來解題。 對有解方程經驗的人，此時一眼就能看出要將展開后產生的兩個方程式1）和2）進行相減操作，相減后得到如下方程式。  到此，剩余的解方程就不用寫了。 由此可見，內隱是數學命題的主要方法之一，數學命題的內隱有各種手段。解題時，要識破內隱的手段,反其道而行，讓內隱的規(guī)律、特征、關系、模式、信息等外顯。對這道題，通過觀察方程特征，發(fā)現其存在重復的模式并且折疊在一個方程式中，也就是折疊是這道題的內隱手段，所以我們采用換元法來進行展開。 內隱和外顯，也可從事物的多元表征方面理解。一個事物可有多種表征，例如一個故事，可用小說的形式展現，也可以電影或戲劇等其它形式展現，數學中的數形結合思想就是利用了代數表征和幾何表征相互聯系相互轉化的性質。這里的內隱和外顯也是同一個事物的多元表征形態(tài)，它們是辯證統(tǒng)一的，是可相互轉化的。 數學思維中的辯證法和辯證思維 數學中的辯證思維不只是抽象與具體、特殊與一般、數與形、簡單與復雜、正與反、共性與個性這些，還有很多存在辯證關系的矛盾概念對，本人簡書中總結了數學中的矛盾概念對，把它們成為辯證思維詞匯表，見簡書網址      如何利用辯證法中的矛盾觀、聯系觀、運動發(fā)展觀、矛盾分析法等來指導數學解題中的思維活動，簡書中也有具體闡述，這篇文章(   總結 大音希聲，大象無形，道隱無名。大道隱藏在事物之中，始終處于一種隱態(tài)、非肉眼可見狀態(tài)。我們要善于觀察識別善于探索其內隱手段，再反其道而行進行溯源，反本歸元，將內隱的事物通過適當的手段進行還原或凸顯，揭示其本質。 |
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