立體幾何解法第四招：移花接木-平移法求求異面直線夾角

異面直線所成角的大小,是由空間一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角(或直角)來定義的。因此,通常求異面直線所成的角要通過平移直線,形成角,把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題,然后在某個三角形或平行四邊形中求出角來得到異面直線所成角的大小。在這一方法中,平移直線是求異面直線所成角的關(guān)鍵。

1.平移法求異面直線夾角的步驟:

選點(diǎn)→平移→定角→計(jì)算(異面直線所成角的范圍為)

2.

兩種常見平移方法:

三角形:

利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線,實(shí)現(xiàn)直線的平移,將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線

平行四邊形：

利用平行線的傳遞性,構(gòu)造平行四邊形,實(shí)現(xiàn)直線的平移,將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線

(2018·天津文)如圖,在四面體中,是等邊三角形,平面平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),,,.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值;

(Ⅲ)求直線與平面ABD所成角的正弦值.

【答案】見解析

【解析】(Ⅰ)證明:由平面平面,平面平面,,可得平面,故.

(Ⅱ)取棱的中點(diǎn),連接,.又因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn),故.

所以(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成的角.

在中,,故.因?yàn)?/span>平面,故.

在中,,故.

在等腰三角形中,,可得.

所以,異面直線與所成角的余弦值為.

(Ⅲ)連接.因?yàn)?/span>為等邊三角形,為邊的中點(diǎn),故,.又因?yàn)槠矫?/span>平面,而平面,故平面.所以,為直線與平面所成的角.

在中,.

在中,.

所以,直線與平面所成角的正弦值為.

1.(2020屆河南南陽一中開學(xué)考)在長方體中,,,,點(diǎn)為長方形對角線的交點(diǎn),為棱的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為( )

A.

B.

C.

D.

2.如圖,正方體中,直線與所成角大小為__________.

3.(2020屆全國大聯(lián)考高三聯(lián)考)已知三棱錐,,是邊長為的正三角形,,分別是、的中點(diǎn),為棱上一動點(diǎn)(點(diǎn)除外),,若異面直線與所成的角為,且,則__________.