線性映射和Jacobians

本節(jié)我們主要復(fù)習(xí)一些線性代數(shù)的基本知識，目標(biāo)是定義 的Jacobian. 為接下來證明Area  公式和 Coarea公式做個(gè)準(zhǔn)備工作

線性映射

定義 (i)線性映射稱為正交的，如果, .

(ii)線性映射稱為對稱的，如果 , .

(iii)線性映射稱為對角的，如果存在使得 , .

(iv)設(shè)是線性映射. 的伴隨映射定義為，.

首先，我們回憶一些線性代數(shù)的顯然事實(shí)

定理 (i)

(ii)

(iii) ,如果是正交的.

(iv) , 如果是對稱的.

(v)如果是對稱的， 則存在正交映射和對角映射,使得

(vi)如果 是正交的，則且

定理：設(shè)是線性映射

(i)如果, 則存在一個(gè)對稱映射和一個(gè)正交映射使得

(ii) 如果, 則存在一個(gè)對稱映射和一個(gè)正交映射使得

證明：首先，假定 . 考慮. 現(xiàn)在

同時(shí)

因此，是對稱的，非負(fù)定的. 從而存在, 和一組的正交基使得

我們記

斷言：存在的一組正交集合, 使得

如果, 定義

則， 當(dāng)時(shí)

因此， 集合是正交的.如果, 定義是使得正交的任意單位向量.

現(xiàn)在，定義

以及

因此，, 因此

顯然是對稱的，是正交的是因?yàn)?/p>

(ii)的證明，只需要對應(yīng)用(i)即可.

定義：設(shè)是線性的，

(i)如果, 記, 定義的Jacobian為

(ii)如果, 記 , 定義的Jacobian為

注：(i)由下面的定理知，的定義與和的選擇無關(guān).

(ii)顯然，

定理：(i)如果 ,

(ii)如果,

證明：假定, 記

則

因此

(ii)的證明類似.

上面的定理給我們提供了一種非常有用的方式來計(jì)算

定義：(i)如果, 我們定義

(ii)對每一個(gè), 我們定義

注：對每一個(gè), 存在一個(gè)維子空間

使得 是 到的投影.

定理（Binet-Cauchy公式) 假設(shè), 是線性的，那么

注：(i)因此， 如果我們要計(jì)算, 我們只需要計(jì)算矩陣的所有 子陣的行列式的平方和即可.

(ii)這實(shí)際上是一種高維版本的Pythagorean定理.

證明：在和的標(biāo)準(zhǔn)正交基下，我們可以把線性映射等同于它們所對應(yīng)的矩陣.  我們記

因此

那么，

其中表示 所有置換的集合. 因此

這里，代表從 到 的一一映射的全體.

對每一個(gè), , 其中且, 因此

Jacobians

設(shè)是Lipschitz的，由Rademacher定理，是幾乎處處可微的. 因此是幾乎處處存在的，從而也幾乎處處是一個(gè)從的線性映射.

定義：如果 ， ， 則梯度矩陣為

則的Jacobi定義為