地圖之學(xué)縱貫古今。古希臘托勒密創(chuàng)立將地球曲面表示到平面的世界地圖投影方法，中國西晉裴秀提出“制圖六體”理論。18世紀(jì)發(fā)明等高線法，幾何符號逐步替代象形符號，產(chǎn)生地圖平版印刷，將地圖推進(jìn)到現(xiàn)代的階段。20世紀(jì)前半期，形成以地圖制作的理論、技術(shù)和工藝為核心的傳統(tǒng)地圖學(xué)。20世紀(jì)末至21世紀(jì)初，地圖學(xué)進(jìn)入以計算機(jī)技術(shù)為標(biāo)志的信息化時代。

地圖的數(shù)學(xué)法則

地圖是按照一定的數(shù)學(xué)法則建立的圖形。數(shù)學(xué)法則主要解決了地球曲面與地圖平面之間的矛盾。地圖投影、地圖比例尺和地圖定向構(gòu)成地圖的數(shù)學(xué)法則。

1. 地圖投影

地球橢球面是一個不可展的曲面，而地圖通常是連續(xù)的二維平面，如將球面強(qiáng)行展開，必然會產(chǎn)生裂隙或褶皺。因此，必須在球面與平面中建立某種數(shù)學(xué)法則來解決這個問題。將地球橢球面上的點轉(zhuǎn)換到地圖平面上的點的方法稱為地圖投影。地圖投影解決了球面到平面的數(shù)學(xué)變換，成為現(xiàn)代地圖學(xué)的理論基礎(chǔ)之一。

從球面到平面的轉(zhuǎn)換

地圖投影的實質(zhì)，就是在地球橢球面上點的地理坐標(biāo)（經(jīng)度λ、緯度φ）與地圖平面上對應(yīng)的直角坐標(biāo)（X,Y）之間，建立函數(shù)關(guān)系。

地球投影種類繁多，根據(jù)制圖區(qū)域的位置、大小、區(qū)域形狀以及地圖用途，可設(shè)計或選擇不同的地圖投影。按投影后經(jīng)緯線的形狀進(jìn)行分類，最常見的有方位投影、圓柱投影和圓錐投影。

方位投影（以平面與地球相切為例）

圓柱投影（以圓柱面與地球相切為例）

圓錐投影（以圓錐面與地球相切為例）

2. 地圖投影的變形

地球表面投影到地圖平面上必定會產(chǎn)生變形，這是任何一種地圖投影都不能避免的，包括長度（距離）變形、角度（形狀）變形與面積變形。有的投影地圖上同時存在三種變形；有的投影地圖上面積沒有變形，但角度變形較大；有的投影地圖上角度沒有變形，但面積變形較大。

不同投影的世界地圖

在不同投影的世界地圖上，格陵蘭島的面積變形、形狀變形都十分明顯。

3. 廣泛使用的地圖投影

墨卡托投影

荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（1512—1594）設(shè)計了正軸等角圓柱投影用以編制世界地圖，即墨卡托投影，可幫助航海者用直線導(dǎo)航，并且第一次將世界完整地表現(xiàn)在一幅地圖上。墨卡托投影具有等角航線被表示成直線的特性，至今仍廣泛被用于編制航海圖和航空圖。

墨卡托投影

墨卡托投影沒有角度變形，經(jīng)緯線都是平行直線且相交成直角。

高斯—克呂格投影

高斯—克呂格投影是等角橫切橢圓柱投影。19世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家高斯最先設(shè)計，后經(jīng)德國測量學(xué)家克呂格完善而成。我國現(xiàn)行的大于1:50萬比例尺的基本比例尺地形圖都采用高斯—克呂格投影。

等角投影

高斯—克呂格投影是沿經(jīng)線分帶的等角投影。

4. 地圖比例尺

比例尺是地圖上的線段長度與實地相應(yīng)線段長度之比，表示地圖圖形的縮小程度。比例尺對確定地圖內(nèi)容的完備性、詳細(xì)性和精確性起著重要作用。由于地圖投影后存在角度、面積和長度的不均勻變形，地圖上各處的比例尺是有差別的，因此地圖標(biāo)出的比例尺其實是投影的主比例尺。

地圖比例尺的表示方式主要有數(shù)字式、文字式和圖解式。在電子地圖或互聯(lián)網(wǎng)地圖上，通常使用縮放尺來控制地圖的顯示比例。

地圖上常見的數(shù)字式比例尺、圖解式比例尺

禹跡圖

“計里畫方”是我國古代地圖學(xué)家常用的繪圖方法。宋代繪制的《禹跡圖》上繪有方里網(wǎng)，注明“每方折地百里”，屬于早期的文字式比例尺。

根據(jù)地圖上的比例尺，可以方便地量算出實地距離，如甲乙兩地之間的距離、公路里程、航線長度等。

5. 地圖定向

指南針是我國古代四大發(fā)明之一，可以快速準(zhǔn)確地測定出“磁北”，是在實地現(xiàn)場判定方位最基本的工具。但磁北方向與指向北極的正北方向并不一致。

在地圖上經(jīng)常會標(biāo)有指北標(biāo)。指北標(biāo)一般指向正北方向。

地圖上常見的指北標(biāo)

在沒有指北標(biāo)的地圖上，可以根據(jù)經(jīng)緯網(wǎng)的走向來判斷東、西、南、北。中央經(jīng)線指向北極的一方為正北方向。在既沒有指北標(biāo)又沒有經(jīng)緯網(wǎng)的地圖上，一般以圖的上方為正北，按照“上北下南，左西右東”的原則來判斷方向。

在沒有指向標(biāo)的地圖上判斷方向。